Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Р({аь}) = е[(КГ/КТ) 1п _ ers/KTt
причем
S = Kln|P({aA})|
§ 10. Теория Гинзбурга — Ландау
601
есть с точностью до постоянного слагаемого энтропия системы, то вероятность (5.97) оказывается равной просто
?*Мв-'({в*>)/КТ,
где F — опять-таки свободная энергия системы. Поэтому вероятность можно вычислить с помощью выражения (5.85) для плотности свободной энергии.
Подставляя разложение (5.96) для ф в (5.85) и интегрируя по объему Q, в низшем порядке по (аЛ) получаем
F = Fn — П Гоф?фо+-у (ф?ф0)2 + 2 a*ah (а + 2Н?Фо + k*c) J • (5-98)
к
Мы опустили слагаемые типа аЛа_Л и a*aLh, поскольку фазы различных флуктуаций считаем независимыми и такого рода слагаемые при статистическом усреднении обращаются в нуль *).
Найдем теперь ф0, минимизируя свободную энергию (5.98) по фо в нулевом по atak порядке. Тогда
а + Ьф?ф0 = 0,
откуда следует, что
F = FB + Q[_i*|S2. + 2ak*(-a + A,c)].
к
Первое слагаемое можно включить в нормировочный множитель выражения для вероятности, и тогда легко вычислить среднеквадратичную флуктуацию для данного к:
(atahy ??
Г -4<-а+А*оа/хг
.) е ____________aldak _ КТ
f -aJ(-a+fc*c)Q/Kr . 2( —a + ft*c)Q *
) е ййк
Это выражение позволяет оценить амплитуду флуктуаций в области применимости теории Гинзбурга — Ландау, т. е. вблизи критической температуры и для длин волн, много больших длины коге-
*) Это утверждение неверное. При Т > Те такие слагаемые отсутствуют, поскольку они, как легко увидеть из (5.85), пропорциональны ф?* и фо соответственно. Ниже точки перехода их учет приводит к появлению флуктуаций, пропорциональных КТ/ск*. Суммирование по к до величины порядка 1/? дает, однако, тот же результат, что и полученный автором ниже. Следует особо подчеркнуть, что эти флуктуации тесно связаны с флуктуациями фазы ф, в чем легко убедиться, записав ф в виде | ф | е1в и подставив это выражение в (5.85). Тогда свободная энергия примет форму
F= j dx (а | ф I* + A | ф |4+c (V | ф |«)«+c | ф p (V6)*) .
Именно последнее слагаемое этого выражения и ответственно за появление указанных флуктуаций.— Прим. ред.
39-0257
602
Гл. V. Кооперативные явления
рентности. Как мы уже говорили в п. 3 настоящего параграфа, «жесткость» сверхпроводящей волновой функции подавляет флуктуации с меньшими длинами волн. Следует обратить внимание на то, что в знаменателе выражения для флуктуаций возник полный объем системы. Однако при вычислении любых зависящих от флуктуаций характеристик необходимо проводить суммирование по к. При переходе от этой суммы к интегралу появляется множитель й/(2я)3, который определяет плотность состояний, и объем в знаменателе сокращается. В частности, выражение для среднеквадратичной флуктуации в любой точке обычного пространства сверхпроводника задается суммой от (а?ад) по всем волновым векторам. Эта сумма на больших k расходится и суммирование следует ограничить волновыми векторами, меньшими или равными величине порядка 2я/| (где ? — длина когерентности), поскольку теория Гинзбурга — Ландау при больших волновых векторах неприменима. Эго приводит к тому, что полный объем Q заменяется объемом когерентности ?3. Таким образом,
2 2(-^3'; (5-99) h
при этом мы пренебрегли в знаменателе величиной ck* по сравнению с —а.
Чтобы понять этот результат, разумно сравнить среднеквадратичные флуктуации с квадратом модуля параметра порядка, | ф0 Is. задаваемым соотношением (5.81). Напомним, что разница в свободных энергиях Д/ единицы объема между нормальным и сверхпроводящим состояниями определяется соотношением (5.82) и равна аЧ2Ь. Тогда формула (5.99) с точностью до числовых множителей принимает вид
КТ
Wo ~ Д/63 *
Таким образом, среднеквадратичная относительная флуктуация при любой данной температуре равна величине КТ, поделенной на энергию, требуемую для того, чтобы при данной температуре перевести объем когерентности из сверхпроводящего в нормальное состояние. Грубо говоря, жесткость сверхпроводящей функции не дает возможности перевести данную точку сверхпроводника в нормальное состояние без того, чтобы не перешел в нормальное состояние и окружающий ее когерентный объем. Флуктуации очень малы, однако они становятся существенными при температурах, очень близких к температуре перехода.
Задана
603
ЗАДАЧИ
1. В вырожденном электронном газе с равной заселенностью состояний с противоположными спинами при перевороте малого числа спинов происходит увеличение кинетической энергии, что связано с изменениями двух соответствующих противоположным спинам ферми-импульсов. Обменная же энергия при этом падает. Это уменьшение может превзойти увеличение кинетической энергии при достаточно низкой электронной плотности или большой эффективной массе. Найдите эффективную массу, при которой немагнитное состояние становится неустойчивым при учете этих двух составляющих энергии, и вычислите эту массу электронного газа с электронной плотностью, отвечающей алюминию (kp = 0,927 ат. ед.).
2. Рассмотрим систему N спииов (величина каждого из них равна V2), взаимодействующих друг с другом с одинаковой интенсивностью, так что обменный гамильтониан
