Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Она восходит к старой двухжидкостной модели сверхпроводника. Согласно этой модели, электроны находятся либо в нормальном состоянии, чему отвечают квазичастичные возбуждения последовательной микроскопической теории, либо в сверхпроводящем или конденсированном состоянии. Сверхпроводящие электроны способны переносить незатухающий ток, а нормальные электроны могут переносить, скажем, тепловую энергию. Обозначим с помощью я, долю сверхпроводящих электронов; она пропорциональна плотности сверхпроводящих электронов. Доля п, зависит от температуры и падает до нуля при температуре, равной критической. Гинзбург и Ландау построили теорию вблизи критической температуры, т. е. там, где плотность сверхпроводящих электронов настолько мала, что эту величину можно было использовать в качестве параметра разложения. Точнее говоря, онн описывают сверхпроводник с помощью волновой функции ф (г), через которую долю сверхпроводящих электронов можно выразить с помощью соотношения
л,(г) = ф* (г)ф(г).
(5.80)
588
Гл. V. Кооперативные явления
Заметим теперь, что функция ф (г) пропорциональна сверхпроводящей волновой функции или параметру порядка (В (г)), введенному в п. 4 § 9, и, следовательно, величине А (г). Это не так уж очевидно, однако в конце п. 2 настоящего параграфа мы убедимся в том, что сделанное утверждение согласуется с полученными результатами и с микроскопической теорией. Излагаемая здесь формулировка теории Гинзбурга — Ландау никак не связана с микроскопическим происхождением функции ф(г), для которой мы будем использовать впредь общепринятый термин параметр порядка. Для теории важен только сам факт ее существования. Теорию перехода порядок — беспорядок в ферромагнетиках можно также сформулировать с помощью введения некоторого параметра порядка, каковым в этом случае служит локальная намагниченность системы.
Главным моментом теории Гинзбурга — Ландау является построение выражения для свободной энергии в виде разложения по параметру порядка. Затем с помощью вариационного метода из этого выражения получают дифференциальное уравнение для параметра порядка. Коль скоро параметр найден, мы можем определить с его помощью свойства системы. Далее входящие в теорию Гинзбурга — Ландау различные параметры можно сопоставить параметрам микроскопической теории. Однако, по-видимому, лучше отложить такую идентификацию и показать сначала, как теория была построена с помощью одних лишь интуитивных соображений.
Напишем сначала выражение для свободной энергии при произвольной температуре в виде разложения по степеням плотности сверхпроводящих электронов:
Здесь Fn — свободная энергия нормального металла, в котором п„ равно, конечно, нулю.
Можно получить некоторые свойства коэффициентов а и Ь, если минимизировать свободную энергию по п„ опустив все слагаемые более высокого порядка чем п\. Тогда
Если речь идет о решении, отвечающем сверхпроводящему состоянию, то эта величина должна быть больше нуля. Тогда равновесная свободная энергия есть
1. Вычисление свободной энергии
F(T) = Fn(T) + a(T)n, + ^P-n*+... .
(5.81)
(5.82)
§ 10. Теория Гинзбурга — Ландау
589
Плотность сверхпроводящих электронов в критической точке Тс должна обратиться в нуль, поэтому можно ожидать, что основным слагаемым в разложении а (Т) по степеням Т — Те должно быть линейное слагаемое. Далее, сверхпроводящее состояние должно обладать энергией, меньшей, чем нормальное при температурах, меньших Тс, и большей, чем нормальное при температурах, больших Те. Таким образом, коэффициент пропорциональности между а(Т) и Т — Тс должен быть положительным. Кроме того, мы полагаем, что слагаемое нулевого порядка в разложении 6 по Г — Тс отлично от нуля.Следовательно,для температур, очень близких к Тс,
где аир — положительные константы. Подставляя далее выражения (5.83) в формулу для свободной энергии, находим
Этот результат справедлив только при температурах, меньших Те, так как в противном случае плотность сверхпроводящих электронов будет, как мы видели, отрицательной. Такое поведение отвечает фазовому переходу второго рода при температуре Тс- Свободная энергия и первая ее производная по температуре остаются непрерывными в этой точке, вторая же производная претерпевает скачок. В соответствии с этим испытывает скачок теплоемкость, что и наблюдается при сверхпроводящем переходе.
Теперь мы хотим рассмотреть неоднородную систему, в которой, следовательно, плотность сверхпроводящих электронов и параметр порядка меняются с координатой. Поскольку минимуму свободной энергии однородной системы соответствует постоянный параметр порядка, можно ожидать, что увеличение свободной энергии системы, связанное с его неоднородностью, пропорционально | V ф |*. С этого момента мы перепишем все выражения с помощью параметра порядка. Полная свободная энергия равна
/ = /п + а(Г)|ф(г)|*+-1-6(Т)|ф(г)|‘ + с(Г)|Тф(г)|*, (5.85)
причем параметры а и Ь относятся к единице объема системы. Мы полагаем, что параметр с в критической точке отличен от нуля и положителен, поэтому вблизи критической температуры мы считаем его положительной константой.
