Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 157. Зависимость энергетической щели Д0 от температуры, следующая из теории БКШ.
0 те т
описанной нами теории можно непосредственно вычислить эту критическую температуру. Оказывается, что
Л'Т __
Aic-3l2’
где Д0 — значение щели прн 7 = 0. Это соотношение хорошо подтверждается экспериментом в случае сверхпроводников со «слабой связью», таких, как алюминий. Ниже критической температуры А0 зависит от 7 так, как это показано на фиг. 157. При 7 = 7С величина Д0 обращается в нуль с бесконечной производной. Поведение Д0 вблизи 7С можно описать с помощью критических показателей, подобно тому как описывается намагниченность вблизи температуры Кюри. Как и в последнем случае, простая теория (в данном случае теория БКШ) не дает правильного показателя.
Энергетическая щель в спектре возбуждений меняет электронную теплоемкость и приводит к тому, что теплоемкость здесь подобно случаю полупроводников экспоненциально стремится к нулю при 7 -*? 0, причем эта экспоненциальная зависимость имеет вид
?-2Д0/КГ.
Естественно, при любой конечной температуре в сверхпроводнике имеются квазичастичные возбуждения, которые влияют на целый ряд свойств. Например, длинноволновая звуковая волна (йю < 2А0) не может привести к возбуждению основного состояния, но может быть рассеяна любыми имеющимися квазичастицами. Таким образом, электронный вклад в поглощение ультразвука экспоненциально стремится к нулю при низких температурах и приближается к значению, отвечающему нормальному металлу при приближении 7 к 7С.
37-0257
578
Гл. V. Кооперативные явления
(Это, однако, не относится к поперечным волнам, взаимодействие которых с электронами изменяется в присутствии сверхпроводи* мости.)
4. Сверхпроводящая волновая функция или параметр порядка
Следует отметить замечательное свойство основного состояния БКШ, состоящее в том, что средние значения операторов рождения или уничтожения пар отличны от нуля. По аналогии с тем, что уже говорилось при рассмотрении когерентных фононных состояний, это свойство имеет непосредственное отношение к тому факту, что число частиц в основном состоянии БКШ не определено точно. Рассмотрим, например, оператор
в—в-Ць-
к
Среднее значение В можно найти, воспользовавшись теми же соображениями, которые привели нас к равенству (5.60). Таким образом, получаем
<В>в4"2“^- (5-71)
к
Сравнивая это выражение с соотношением (5.62) и опять-таки используя предположение о постоянстве матричного элемента взаимодействия
Vh-k=-V,
находим
(В) = (В+) = -А, (5.72)
где
В+=?б?.
Полученная нами величина характеризует дальний порядок, свойственный сверхпроводящему основному состоянию. С ослаблением сверхпроводимости при уменьшении Л параметр порядка (В) становится меньше и обращается в нуль в нормальном состоянии.
Можно ввести обобщенный параметр порядка с помощью определенных в п. 2 § 4 гл. IV операторов электронного поля:
В (г) = ф| (0 (г) = 2 (г) % (г) t СЫ-
k.k'
§ 9. Теория Бардина — Купера — Шриффера (БКШ) 579
Стрелки означают направление спина. Нас опять интересует среднее значение В (г) по основному состоянию БКШ. По аналогии с соотношением (5.71) получаем выражение
(В (г)) = J uhvh\|ifc (г) г|)_* (г),
которое в случае плоских волн опять-таки равно Д/VQ, т. е. для основного состояния БКШ (В(г)) не зависит от координат. Если, однако, нас интересует среднее от В (г) по БКШ состоянию, отвечающему дрейфу (п. 3 § 9), то
<В(г )> = We2iq'T-
Следовательно, плотность тока выражается через (В (г)> в виде НО =е (т)2 [<В (0>*v <В (Г)> - (В (г)> V (В (г))*]. (5.73)
Свойства системы можно выразить непосредственно через эту функцию пространственных координат (В (г)), называемую сверхпроводящей волновой функцией или параметром порядка. Она оказывается макроскопической переменной, описывающей дальний порядок в сверхпроводнике точно так же, как отличное от нуля значение амплитуды описывает смещения в фононной системе.
Чтобы вычислить свойства нашей системы, нужно иметь лишь метод вычисления самого параметра (В (г)), т. е. нам необходимо найти уравнение для этого параметра, представляющее собой некий аналог уравнения Шредингера для обычной волновой функции. Мы получим такое уравнение для простых систем, а затем обратимся к более сложным методам, основывающимся на приближении самосогласованного поля.
Вспомним сначала, как мы вычисляли величину (В(г)) для основного состояния БКШ. Строя это состояние с действительными параметрами uh и vh, мы полагали тем самым, что оно не зависит от времени, а значит, не зависящей от времени оказывалась и величина (В (г)). Другими словами можно сказать, что в качестве нулевой энергии мы выбрали энергию этого собственного состояния системы. Так можно делать лишь для некоторого собственного состояния или в случае, когда система находится в равновесии. При обсуждении эффекта Джозефеона в следующем параграфе мы будем рассматривать два сверхпроводника, каждый из которых находится в равновесии, но между ними имеется разность потенциалов. В этом простом случае можно тотчас же найти временную зависимость параметра (В (г)).
