Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Сейчас мы учтем влияние и кулоновского взаимодействия между электронами. Заметим, что соответствующий матричный элемент 4лe*/q*Q также обратно пропорционален N. Обозначения упро-
§ 9. Теория Бардина—Купера — Шриффера (БКШ) 563
щаются, если общий множитель 1 IN вынести как коэффициент перед суммой. Тогда матричный элемент взаимодействия запишется в виде
V*Vqhu>q/N
Vk+я, к = (еь-еь+ч)*-(й(й9)* + Vk+*'к (КУЛ0Н) >
и если учесть кинетическую энергию электронов, мы придем к редуцированному гамильтониану БКШ:
SB = 2 Sketch + S Ук', hbt-bh-
h hTk’
Следует обратить внимание на то, что если мы будем исходить из полностью спаренного состояния
|Ф> = ПЯ |0>,
k
то редуцированный гамильтониан БКШ будет иметь только такие матричные элементы, которые связывают его также только с полностью спаренными состояниями. Поскольку для образования основного состояния необходимы только такие полностью спаренные состояния *), редуцированный гамильтониан БКШ можно переписать в виде
<Я? = 22е»«&*+ 2 Vk-kbth.
к ft, ft'
1. Основное состояние
Мы будем искать собственное состояние редуцированного гамильтониана БКШ вариационным методом. Такое многоэлектронное состояние записывается в форме
I Ф> = П (“ft + vhbl) 10). (5.59)
Состояние | 0 ) означает вакуум. Величины uh и vh суть вариационные параметры, которые предполагаются действительными. Таким образом, каждому волновому вектору отвечают два вариационных параметра. Это состояние характеризуется тем, что электроны встречаются лишь в парах. Однако оно довольно своеобразно. Расписав фигурирующее в выражении (5.59) произведение, мы видим что имеется слагаемое, в котором нет ни одной пары, большое число слагаемых с одной парой, и т. д. Число пар или число электронов в этом состоянии точно не определено. Однако неопределенность
*) Заметим, что именно по этой причине решение, полученное в следующем параграфе вариационным методом, является на самом деле асимптотически (при N оо) точным [29].— Прим. ред.
36*
564
Гл. V. Кооперативные явления
числа пар оказывается величиной порядка Nl/*, что намного меньше полного числа электронов N, так что с этим не возникает никаких серьезных осложнений.
Мы хотим варьировать параметры ик и vk таким образом, чтобы получить минимум энергии при дополнительном условии: среднее число электронов равно N. Этого можно добиться с помощью множителя Лагранжа.
Вычислим сначала нормировочный интеграл
причем, переходя ко второй строчке, мы использовали то обстоятельство, что
Наша волновая функция будет нормирована на единицу, если потребовать, чтобы для всех к
Однако мы на некоторое время откажемся от этого требования, так как будем минимизировать величину
Число частиц мы зафиксируем, если потребуем, чтобы выполни' лось условие
В методе множителей Лагранжа минимум функции / (х) при дополнительном условии А (*) = 0 находят путем минимизации выражения
без всяких дополнительных ограничений; далее определяют / (х) и параметр X, основываясь на использовании полученного таким образом минимума и условия А (х) = 0. Следовательно, в нашем случае нужно минимизировать величину
(ФI Ф> = <01П («к + vkbk) (uh + vhbt) 10) = = У <01 «S + vlbkbt 10) = р (ui + oft,
<0|6*|0> = <0|tt|0> = 0.
ui + i* = l.
<гр | <gg | яр)
<4>1ф‘
____________9 *
оНф) <Ф1ф>
f(x)-XA(x)
w ? <ф|<й?|ф> <ф|ф>
§ 9. Теория Бардина — Купера — Шриффера (БКШ) 565
где параметр р. — множитель Лагранжа. Третье слагаемое этого выражения не зависит от вариационных параметров uk и vh, и поэтому рассматривать его нет необходимости. Используя выражение для редуцированного гамильтониана БКШ, первое и второе слагаемое можно привести к следующей форме:
<t|,| V2(e*-p)W*+ У _ Т С*'
<Ф I ?»!>>
Чтобы найти минимум этой величины, ее нужно выразить через вариационные параметры. Слагаемые, содержащие произведение btbh, можно вычислить сразу же, коммутируя оператор bh направо до тех пор, пока он не достигнет фигурирующего в выражении (5.59) для | ф ) множителя
(u* + i>fc6{).
Коммутация его с этим множителем и действие на вакуум 10 ) дает
Muft + i>ft6jO|0) = i>ft|0>.
Подобным же образом «протаскивание» оператора Ьк налево опять дает множитель о*. Оставшиеся множители в ( ф | ф ), так же как и при вычислении нормы (ф |ф ), приводят к величине
Таким образом, вклад в величину W от одного произведения btbk равен
6ЦГ = 2(е*~У*. (5.60)
ul + °\ v '
Подобным же образом можно найти и вклад от произведения bt>bh, «протаскивая» оператор bh направо. Это оставляет от соответствующего множителя в W лишь величину uh, которая входит только в произведение с величиной vh, оставшейся от волновой функции (ф |, стоящей слева. Точно так же оператор 6J- выделяет множитель ик' ок'. В результате величина W принимает вид
л А , я
Вместо того чтобы минимизировать это выражение, мы опустим множители
u\+v\ И Uh' + Oft',
фигурирующие в его знаменателе, и будем искать минимум получившейся величины при дополнительном условии, состоящем в том,
566
Гл. У. Кооперативные явления
что эти множители равны единице. Для этого необходимо ввести для каждого значения k дополнительные множители Лагранжа А*. Таким образом, величина, подлежащая минимизации, есть
