Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
k<hp
Предполагается также, что при взаимодействии между электронами сохраняются полный импульс и спин. Именно так и обстоит дело в случае обсуждавшегося выше эффективного взаимодействия. Полный спин системы двух электронов может равняться либо 0, либо 1. Если он равен 0, то спиновая волновая функция антисимметрична, а следовательно, пространственная симметрична. Если же полный спин равен 1, то пространственная волновая функция должна быть антисимметричной. Оказывается, что наименьшей энергией обладает состояние с симметричной пространственной волновой функцией. Поэтому в наинизшем по энергии состоянии спииы двух электронов антипараллельны. Кроме того, ясно, что наиниз-шему состоянию двух электронов отвечает равный нулю полный импульс. Таким образом, если перейти к координате относительного движения р = ri — г2 и координате центра масс, то волновая функция будет зависеть лишь от первой из них. Поэтому координатную часть волновой функции можно полагать функцией одной лишь координаты р
Ф(Г1, Гг)->ф(р).
Нормальному (несверхпроводящему) основному состоянию такой системы без взаимодействия отвечает волновая функция
558
Гл. V. Кооперативные явления
Так как все состояния с к < к* заняты другими электронами, наи-низшая энергия такой пары составляет 2Ер.
Чтобы найти более низкую энергию системы со взаимодействием, попытаемся представить волновую функцию рассматриваемой нами пары в виде суперпозиции состояний пар с противоположными спинами и импульсами, причем такими, что все они лежат вне сферы Ферми. Такой выбор оставляет все остальные электронные состояния неизменными. В отсутствие электрон-электронного взаимодействия среднее значение энергии такого состояния окажется, очевидно, большим вследствие дополнительной кинетической энергии, которой обладают состояния над поверхностью Ферми. Однако при наличии взаимодействия мы можем получить состояние и с меньшей энергией, чем нормальное.
Чтобы убедиться в этом, запишем волновую функцию в виде общего разложения по различным состояниям пары
ф = S ah’eih'’p= 2 ah'eih’,rte-ih’'T*.
k’>hF k’>kF
Подставим его в уравнение для собственных значений энергии, имеющее вид
(H0 + Veiel)\p = Ey,
или
(?-Яо)ф = Кф,
где Но — гамильтониан системы без взаимодействия, т. е. просто кинетическая энергия, а V = Veiei — потенциал эффективного взаимодействия между электронами. Подставляя сюда разложение для ф, умножая это уравнение слева на (eih ri e~ik r*)*/Q и интегрируя по ri и г2, получаем
(? —2e„)ak=2(k, -k|V|k', -k')aft., (5.54)
k'
где
(k, -k|K|k\ - k'> = -^ j j • (n-r,)) 7 (rt - r2),
a ek —одноэлектронное собственное значение гамильтониана Н0. Это уравнение нужно решить относительно коэффициентов а* и найти состояние с наинизшей энергией.
Решить его в случае взаимодействия общего вида, равно как и в случае найденного нами ранее эффективного взаимодействия, не удается. Можно, однако, изучить свойства этого уравнения, предположив, что взаимодействие имеет простую форму, а именно полагая, что оно может быть факторизовано:
(k, — k|V|k', — к') = А,шк.ш*.
§ 8. Куперовские пары
559
Постоянная Я отрицательна в случае притяжения и положительна в случае отталкивания. Для этого простого взаимодействия легко найти решение. Уравнение (5.54) принимает форму
(Е — 2е*) ah = wk-av. (5.55)
Сумма по к' не зависит от к, и поэтому ее можно заменить константой
C=S“»ft'ak'.
к'
Коэффициенты разложения ак можно выразить через эту константу:
he>hC к Е —2ек *
Выражая теперь константу С через эти коэффициенты ак, находим
с= 2 Wk°h = 2 Е- 2еЛ •
к к
Величины С в обеих сторонах этого уравнения сокращаются, и мы получаем условие существования нетривиального решения уравнения (5.55), аналогичное секулярному уравнению для системы уравнений,
<5-66>
к
Суммирование проводится здесь по k > kF.
Чтобы найти точное решение этого уравнения, нужно знать функцию wk. Можно, однако, искать решение графически, предположив для простоты, что wk есть медленно меняющаяся функция к, и построив левую и правую части этого уравнения. Заметим, что оно очень похоже на уравнение (4.21), приводящее к частотам локальных колебаний кристаллов с дефектами, и график, отвечающий уравнению (5.56), почти совпадает с графиком на фиг. 121. Мы не будем поэтому повторять основанных на этом графике рассуждений, а соответствующие выводы получим непосредственно, анализируя уравнение (5.56).
Если взаимодействие отвечает отталкиванию, т. е. Я, > О, то решение с энергией Е, меньшей 2Е F, для системы без взаимодействия не существует, поскольку правая часть уравнения (5.56) оказывается при таких энергиях отрицательной. Так же как и в том случае, когда речь идет о частотах колебаний при наличии тяжелой примеси, каждая энергия возбуждений оказывается слегка сдвинутой в сторону увеличения. Если, с другой стороны, взаимодействие отвечает притяжению и А,<0, то в результате подстановки Е,
560
Гл. V. Кооперативные явления
меньшего 2EF, каждое из слагаемых суммы в правой части уравнения (5.56) становится положительным и существует решение с энергией, лежащей ниже энергии системы без взаимодействия. Кроме того, энергии высших возбужденных состояний оказываются слегка смещенными в сторону уменьшения. Состояние, которому соответствует отщепившаяся энергия, называется куперовской парой. В результате взаимодействия мы выигрываем более чем достаточно энергии, чтобы скомпенсировать возрастание кинетической энергии. Эго и означает неустойчивость системы. Для рассмотренной модельной системы мы нашли такое состояние, энергия которого меньше энергии нормального состояния.
