Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Можно найти характер такой расходимости, заменив сумму интегралом. Будем отсчитывать все энергии от энергии Ферми и обозначим плотность состояний на единицу энергии для электронов со спином вниз как N(0)/2. Пусть начальная энергия отличается от фермиевской на величину бе. Подставляя распределение Ферми при 7 = 0, находим
где в качестве предела интегрирования мы взяли величину порядка энергии Ферми. Заметим наконец, что при конечных температурах интересующие нас электроны лежат в интервале энергий порядка КТ вблизи фермиевской энергии, а величина N (0)/N — порядка Ер1. Таким образом, можно полагать, что расходимость в сопротивлении будет иметь вид
Такая расходимость сопротивления при низких температурах носит название эффекта Кондо. Довольно трудно простым способом объяснить физическую причину его происхождения. Мы видели, что расходимость появляется из-за принципа Паули, когда рассеивающий центр имеет какие-то степени свободы, которыми в нашем случае служит ориентация спина.
Прежде чем кончить с этим эффектом, нужно заметить, что следует ожидать сильной зависимости расходимости от магнитного поля, хотя здесь имеется одна хитрость. Представим себе, что действует настолько сильное магнитное поле, что все моменты, связанные с d-состояниями, направлены в одну сторону. Рассеяние с переворотом спина может происходить лишь при одновременном уменьшении компоненты спина d-состояния, если спин электрона проводимости переворачивается снизу вверх. Если гиромагнитное отношение для локального состояния такое же, как и для электрона проводимости, то соответствующие изменения магнитных энергий взаимно компенсируются и энергетический знаменатель остается тем же самым. Однако энергия электрона проводимости понижается, в то время как энергия Ферми для электронов со спином вверх и спином вниз остается одинаковой. Поэтому для электрона, находящегося сначала
о
JN(0) Р dt' [2/ (е*) — 4N J е*—е*
I
о
(5.53)
556
Гл. V. Кооперативные явления
при энергии Ферми, заполнение промежуточного состояния входит так, как будто бы начальное состояние было сдвинуто от энергии Ферми на зеемановскую энергию
бе= —\jlqH.
Из соотношения (5.53) мы видим, что это точно так же, как и температура, уничтожает расходимость. Такая зависимость сингулярности от магнитного поля наблюдалась экспериментально.
Между способами рассмотрения эффекта Кондо и сверхпроводимости существует определенное математическое сходство. Одно время даже считали, что системы, в которых имеется эффект Кондо, при достаточно низких температурах должны претерпевать некоторый фазовый переход. Однако сейчас ясно, что это сходство только формальное и никакого фазового перехода не возникает.
Б. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Можно указать три основные монографии, посвященные сверхпроводимости. Книга Риккайзена [11] наиболее близка к тому, как этот вопрос излагается здесь. Книга Шриффера [12] носит несколько более формальный характер и содержит главным образом изложение основ микроскопической теории. В монографию Де Жена [13] включены многочисленные приложения, опирающиеся на широкое использование феноменологической теории.
Сначала мы сосредоточим внимание на микроскопической теории сверхпроводимости, следуя при этом работе Бардина, Купера и Шриффера [14]. Теперь хорошо известно, что сверхпроводящее состояние возникает вследствие взаимодействия электронов с колебаниями кристаллической решетки металлов. Эго, однако, не следовало с очевидностью из ранних экспериментов по сверхпроводимости. Сверхпроводящее состояние впервые было обнаружено еще в 1911 г., но лишь в 1950 г. Фрейлих обратил внимание на то, что здесь замешано электрон-фононное взаимодействие. Примерно в то же время экспериментально был найден изотопический эффект, состоящий в зависимости температуры перехода в сверхпроводящее состояние от изотопической массы ядер металла, что подтвердило высказанные Фрейлихом соображения. Ранние попытки Бардина и Фрейлиха получить сверхпроводимость на основе этого взаимодействия не были успешными. Сверхпроводящее состояние они пытались получить по теории возмущений, исходя из нормального основного состояния металла. Теперь стало ясно, что получить сверхпроводимость таким путем невозможно.
Для пояснения заметим, что и ферромагнитное состояние нельзя получить с помощью теории возмущений, отправляясь от нормального парамагнитного состояния. При рассмотрении ферромагне-
§ 8. К у перовские пары
557
тизма зонных электронов мы уже видели, что неферромагнитное состояние есть также собственное состояние системы. Оно, однако, неустойчиво, и упорядочение электронных спинов приводит к понижению энергии системы. Аналогичная неустойчивость, приводящая к возникновению сверхпроводимости, была обнаружена Купером [15], и именно ее мы и рассмотрим прежде всего.
§ 8. КУПЕРОВСКИЕ ПАРЫ
Когда мы обсуждали вопрос об электрон-фононном взаимодействии, используя при этом формализм вторичного квантования, то обнаружили, что оно приводит к возникновению эффективного взаимодействия между самими электронами. Теперь мы покажем, что такое эффективное межэлектронное взаимодействие может привести к неустойчивости нормального (несверхпроводящего) состояния электронов. Рассмотрим для этого два электрона системы, взаимодействующие друг с другом, и пренебрежем всеми остальными взаимодействиями между электронами. Тогда становится возможным построить волновую функцию двух электронов, зависящую только от их координат. При этом предполагается, что остальные электроны образуют основное состояние [] ct | 0).
