Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
зависимость У от к' и к. Раскрыв произведение S<rSc, получим V,d= — jj- 2 [т+ S*S‘) + s5Scz]сЛо.
h, h’ a, a'
Мы хотим написать матричный момент второго порядка, связывающий состояния к, о и к', о'. Он имеет вид
<к', а' | М | к, а) = (к', а' | (V.d + 2 ) I к, а), (5.48)
где суммирование ведется по всем промежуточным состояниям. Вычисления оказываются весьма сложными, но они несколько упрощаются, если и начальное и конечное состояния имеют спин электрона проводимости, направленный вверх.
Заметим сначала, что в такого рода матричный элемент дает вклад слагаемое первого порядка, причем вклад равен — JSI/2N. В этом и остальных выражениях мы будет сохранять оператор спина d-состояния, который затем должен быть выражен через спин d-электрона, участвующего в рассеянии. Оператор же спина элект-
§ 7. Локализованные моменты
553
рона проводимости мы исключаем, воспользовавшись соотношениями (5.43) — (5.45).
Каждое слагаемое второго порядка классифицируется по индексам к',а', определяющим промежуточное состояние. Промежуточное состояние может входить двояко. Если состояние к*, а* было сначала не занято, то оно может после первого этапа перехода оказаться занятым, а после второго — снова пустым. Если же оно сначала занято, то после первого этапа оно становится пустым и снова заполняется после второго. Две эти возможности отвечают двум различным промежуточным состояниям. Вклады от них удобно записать отдельно:
2v»d I О V I V,d j* xi +Sd'ScCft'0'Ch'<rSd'ScCft+ .
E0-Et “ ^ ZJ eh—eh. +
4 ft", 0"
Ф+Sd' Sccft+ch'+Sd‘ Sccft»<r ,g ^
efc* —efc'
Слагаемые обоих этих типов связывают те же начальное и конечное состояния и описывают переход электрона из к + в к'+. Заметим, что разность энергий промежуточного и начального состояний зависит только от волновых векторов занятых состояний электронов проводимости. При вычислении рассеяния нас интересуют лишь матричные элементы между начальными и конечными состояниями с одинаковой энергией, так что
ек» —е*»= —(в* —в)»»).
Рассмотрим сначала промежуточные состояния со спином вверх. Тогда единственное слагаемое скалярного произведения •Sc, дающее вклад в этом случае, есть S* S* 1см., например, соотношения
(5.43) — (5.45)1. Вычисление соответствующего слагаемого в (5.49) дает
1 12 S* S*
ТЖ 2 е —г . (cft'+c?'+ "Ь ci'+cft’+) cft'+c&+- (5.50)
л- * *'
Мы опять-таки использовали соотношения (5.43) — (5.45) для того, чтобы исключить операторы спина электронов проводимости, и, заметив, что все волновые векторы к, к' и к' различны, переставили операторы уничтожения и рождения. Изменение знака вследствие различия в энергетических знаменателях скомпенсировалось изменением знака, возникающим при перестановке операторов с%-+ и Ch+. Точно так же, как и при вычислении поправки к энергии второго порядка или рассеяния потенциалом во втором порядке теории возмущений, зависимость от степени заполнения промежуточного состояния исчезла, так как
Ck-+Ch"+ +ct-+ck-+ = 1.
554
Гл. У- Кооперативные явления
Найдем теперь, какой вклад дают в сумму (5.49) промежуточные состояния со спином вниз. Из каждого произведения Sd-Sc останутся лишь слагаемые V2S<5S7 или V2SdSc. Таким образом, получаем
4-^Г 2 е —е . (SdSdCk--ct-- -j-SdSdCft'-Cfc»_) ср+сь+. (5.51)
k- к
Здесь из-за некоммутативное™ операторов S3 и Sj зависимость от заполнения промежуточных состояний не исчезает. Эта трудность возникает лишь при таких актах рассеяния, при которых переход в промежуточное состояние сопровождается переворотом спина.
Если же мы будем рассматривать матричные элементы перехода между начальным и конечным состояниями с противоположными спинами, аналогичное положение возникнет из-за того, что не коммутируют операторы Sd и S3 или S3 и S3*
Замечая, что, например,
SdSd =-j(S<tSd-|-SciS<f) — сать соотношение (5.51) в боле<
- *-*.)] *л..
мы можем переписать соотношение (5.51) в более удобной форме:
SdSd+S3Sd
°ft —V L
Н"
(5.52)
Комбинируя соотношения (5.50) и (5.52) и добавляя слагаемое первого порядка, получаем выражение для матричного элемента (5.48)
(k +|M|k + )— 2N + 4 Ni 2i ek-eft.
где оператор чисел заполнения с**_ Ch*_ мы заменили средним его значением, т. е. функцией распределения Ферми / (к").
Кроме этих, имеются, конечно, и другие матричные элементы между к + и к' + , такие же, как и те, которые появляются из-за рассеивающего потенциала. Слагаемое с произведением Sd-Sd входит точно так же, как и те, которые возникают из-за рассеивающего потенциала, и их мы отбрасываем. Вероятность рассеяния с точностью до третьего порядка теории возмущений пропорциональна
ft' *
Посмотрим теперь, как этот результат приводит к расходимости. Если бы не было зависимости от к" через / (к"), то при суммировании по к можно было бы получить сходящийся результат, беря
§ 7. Локализованные моменты
555
сумму при eh- = ек в смысле главного значения. Однако числитель в этой сумме изменяет знак при энергии Ферми, и если начальное значение энергии ек совпадает с энергией Ферми, при 7 = 0 сумма расходится. Это и соответствует бесконечной вероятности рассеяния при температуре, приближающейся к абсолютному нулю.
