Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
542
Гл. V. Кооперативные явления
с энергией Eh, меньшей энергии Ферми, и лишь одно d-состояние. Это основное состояние вырождено, поскольку занятым может быть либо состояние | d + ), либо состояние Id — ). Таким образом, локализованный момент d-состояния может давать вклад в парамагнетизм и приводить к закону Кюри (5.26).
Учет гибридизации делает задачу намного более сложной. Занятая d-орбиталь, скажем d+, гибридизируется с состояниями зоны проводимости, и среднее значение nd+ оказывается несколько меньшим единицы. Подобным же образом гибридизируется и незаполненное d-состояние, так что среднее значение па- оказывается большим нуля. В чистых переходных металлах именно эти состояния приводят к обсуждавшемуся в § 2 ферромагнетизму зонных электронов. Здесь мы имеем дело с отдельной примесью и можем описывать волновые функции с помощью фаз. Резонанс со спином вверх лежит ниже энергии Ферми, а резонанс со спином вниз — выше.
Без учета гибридизации операторы nd равны либо нулю, либо единице, и задача по существу сводится к задаче о невзаимодействующих частицах. При учете гибридизации слагаемое, отвечающее кулоновскому взаимодействию, делает проблему существенно многочастичной. Ее, однако, можно решить в приближении самосогласованного поля. При рассмотрении состояния со спином вверх оператор nd- в кулоновском слагаемом мы заменяем его средним значением. Это приближение совершенно аналогично используемой при вычислениях зонной структуры замене кулоновского взаимодействия потенциалом, отвечающим средней плотности заряда всех других электронов. Тогда гамильтониан (5.36) для состояний со спином вверх принимает форму
Н+ = 2 Ehnh+ + (Ed + U (ndJ) ПЛ+ — Д 2 (cj+ cd+ + cj+ cfc+].
h k
Этот гамильтониан имеет одноэлектронные собственные состояния
I фл) = (act + bcd) 10), (5.37)
где а и b — функции только от к. Таким образом, задача для каждой спиновой ориентации в точности сводится к той, которая уже решалась в связи с уравнением с псевдопотенциалом для переходных металлов в § 9 гл. II. Но теперь мы хотим провести суммирование по всем занятым состояниям для того, чтобы найти, например, величину (nd_).
С этого момента мы встаем на путь интуитивных рассуждений. Анализ можно сделать и более строго [7] с помощью описанных в п. 3 § 10 гл. II одноэлектронных функций Грина. Результаты, однако, оказываются теми же самыми.
Сначала мы будем искать собственные состояния гамильтониана
(5.37), рассматривая слагаемое, отвечающее гибридизации, как
§ 7. Локализованные моменты
543
возмущение. Для состояния, которое в нулевом порядке отвечает состоянию зоны проводимости, в первом порядке
Индекс при b означает спин рассматриваемого состояния и
т. е. представляет собой фактическую энергию состояния d±.
Вычислим, например, величину (л,j+), для чего просуммируем квадрат амплитуды при d-компоненте, Ь\, по всем занятым состояниям. Наше приближенное выражение для Ь± в низшем порядке по Д годится всюду, за исключением той области, где энергетический знаменатель приближается к нулю. В отличие от суммирования, проводимого для вычисления электронной плотности или полной энергии, суммирование Ь\ приводит к расходящемуся результату. Чтобы избежать расходимости, добавим в знаменатель малую положительную константу е2:
причем такую, чтобы она стремилась к нулю при стремлении к нулю Д и это выражение было правильным в низшем порядке по Д вдали от резонанса. Мы можем найти величину е точно, потребовав, чтобы интегрирование вблизи резонанса приводило к той же плотности состояний, что и действие дополнительного состояния в пределе стремящегося к нулю параметра Д. При выполнении этого требования мы, проведя суммирование по всем волновым векторам, получим как вклад состояний d-типа, так и вклад состояний &-типа. Таким образом,
где пределы интегрирования выбраны чуть выше и чуть ниже Ed.. Фактически мы можем пренебречь изменением плотности состояний во всей области интересующих нас энергий. Тогда для состояний и со спином вверх и со спином вниз получим
а= 1 и Ь±
л
Eh-Ed± '
Ed± = Ed + U (nd.),
Ьг — a
* (?h-?d-)*+e*’
+
e, 4-»0 J
lim f
А »ял (?j.) j
e = Д2ял (?*•). Зная e, можно немедленно найти и (nd+):
l’bin(E)dE=± f ^
(?-?d_)*+e2
edE
— ОО
— ОО
544
Г л. V. Кооперативные явления
= arc ctg Ed\ Ер . (5.38)
Аналогичное выражение получается и для (rid_). Уравнения, которые должны быть решены самосогласованным образом, имеют вид
<пь) = 4- arc ctg ,
<5'39)
Те приближения, которые мы использовали ранее при рассмотрении псевдопотенциалов переходных металлов, отвечают членам низшего порядка по е в разложении arc ctg в этих уравнениях. Все
а 6
Фиг. 151. Зависимость <п<j_> от (nd+>. получаемая в приближении самосогласованного поля [7].
а) и к 5е и Ер — Ед = 2,5е. В этом случае возникают три решения, два нз которых
отвечают локализованному моменту*
б) и=г и Ер-Ед=0,Ьг. Существует только одно решение <я^_>=<п^+>, н локализо-
ванного момента нет.
остальные слагаемые в разложении arc ctg в (5.39) устраняют ту расходимость, которая появляется, когда резонанс оказывается вблизи энергии Ферми, и результат (5.39) имеет смысл при всех энергиях.
