Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
обозначим спиновое состояние t-го электрона как и заметим, что
оператор St действует только на это состояние. Таким образом, используя соотношение (5.6), находим
Мы видим, что х- и ^-компоненты спина в скалярном произведении переворачивают оба спина и дают состояние, ортогональное исходному. Поэтому только z-компонента приводит к состоянию, дающему вклад в среднее значение:
Если бы мы захотели сопоставить эти матричные элементы с обменным взаимодействием приближения Хартри — Фока, мы должны были бы сопоставлять разность двух этих матричных элементов обменному интегралу (// | V \ ij) и, кроме того, гейзенберговский гамильтониан дал бы добавку в прямое взаимодействие. Достаточно детальное определение обменных интегралов и дополнительного прямого взаимодействия дало бы возможность восстановить все матричные элементы многоэлектронной задачи. При этом мы, конечно, ничего не заработаем и не для этого используется гейзенберговский гамильтониан. Прежде всего обменное взаимодействие используется наиболее часто для описания взаимодействия между полными спинами различных атомов. При этом обменные интегралы выбираются в очень простом виде. Используемый обычно гейзенберговский гамильтониан выходит за рамки приближения Хартри —Фока
526
Гл. V. Кооперативные явления
в других отношениях. В частности, здесь учитываются недиагональные матричные элементы. В этом проще всего убедиться, вернувшись к описанной выше задаче о двух электронах.
Из выписанных там состояний системы двух электронов только первое есть собственное состояние полного гамильтониана, включающего и гейзенберговское обменное слагаемое. Это следует из того факта, что оператор S; -Sj, действуя на второе состояние, приводит к состоянию с другим спином. Можно, однако, найти собственные состояния обменного оператора, если использовать соотношения (5.20) и искать его в виде линейной комбинации связываемых оператором Мех состояний. Мы получаем
Это знакомые синглетное и триплетное состояния двух электронных спинов. Заметим, что приемлемы лишь ортогональные комбинации трех последних.
Сами собственные значения легче получить, если использовать векторные свойства операторов спинов
(Si + Sj)* = S? + SJ + 2S,.S*
или
S, • S, = 1 [(S, + Sj)*-S? — S) ] = 15 (S + 1) - S, (St +1),
где S — квантовое число, отвечающее полному спину и принимающее значение 1 или 0; St — квантовое число, отвечающее спину отдельного электрона, равному V2. Отсюда немедленно следуют выписанные выше собственные значения. Соответствующие результаты в этом простом случае можно было бы получить и для электрон-электронного взаимодействия, хотя это и не столь просто.
Обратимся теперь к атомным спинам. Если представить себе решетку локализованных моментов, взаимодействующих друг с другом посредством гейзенберговских обменных сил, то можно сразу понять природу собственных состояний. Если обменные интегралы положительны, гамильтониан приводит к тому, что спины стремятся стать параллельными друг другу.Мы видели, что для двух электронов параллельная ориентация спинов отвечает собственному состоянию
§ 4. Гейзенберговский обменный гамильтониан
52 7
гейзенберговского гамильтониана [см. (5.20)1. Поэтому мы можем схематически представить основное состояние системы с помощью его классического аналога, изображенного на фиг. 145, а. Оно,
t f ? ? i f J I 1 t f t
? \ f ? f i J \ i ? ? ? ? *
? ? \ f ? f * t \ \ ? ? f ? *
? ? I 1 I t i S \ ? t ? ? *
а б в
Фиг. 145. Состояния системы классических спииов со взаимодействием
- S J»srsJ-»>;
Оии дают представление о соответствующих состояниях системы квантовых спинов с тем же взаимодействием, а — положительные значения Jij (ферромагнетик); б — отрицательные значения jfj (антиферромагнетик); а — отрицательные значения Itj, причем противоположно направленные спины имеют отличающиеся магнитные моменты (ферримагнетик).
конечно же, соответствует ферромагнитному состоянию. Если каждый атом представлен только своим спином, мы можем также убедиться в том, что это состояние соответствует квантовомеханическому собственному состоянию системы электронов с взаимодействием, связывающим лишь состояния с тем же полным спином.
Мы можем сделать предположение о природе состояния и в случае, когда обменный интеграл отрицателен и связывает лишь ближайшие спины. Гейзенберговское обменное взаимодействие приводит здесь к тому, что изображено на фиг. 145, б и что обычно соответствует представлению об антиферромагнитном состоянии. Необходимо, однако, отметить, что такое состояние не есть собственное состояние гейзенберговского гамильтониана, что можно усмотреть из соотношений (5.20). Действие гейзенберговского обменного гамильтониана на такое состояние приводит к перевороту соседних спинов по отношению к постулированному исходному состоянию. Поэтому истинное антиферромагнитное состояние намного сложнее, однако и в нем соседние спины преимущественно антипараллельны, как и в классическом состоянии, представленном на фиг. 145, б. Антиферромагнетизм свойствен оксидам переходных металлов. Во многих таких случаях взаимодействие между моментами ионов переходных металлов описывают с помощью представлений о суперобмене. Это — непрямое обменное взаимодействие между ионами переходных металлов через промежуточные ионы кислорода. Спин иона переходного металла поляризует, соседний кислород, который в свою очередь взаимодействует с соседним ионом переходного металла. Во многих подобных случаях спины двух подрешеток лучше описывать как наклоненные друг относительно друга, а не просто а нтипарал-
