Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
528
Г л. V• Кооперативные явления
лельные. Другая ситуация возникает в ферритах, где также имеется антиферромагнитная конфигурация, но величины моментов двух подрешеток не совпадают. Это приводит к возникновению полного намагничивания. Такое состояние называют ферримагншпным, и оно изображено на фиг. 145, в.
Гейзенберговский обменный гамильтониан оказывается очень эффективным и дает очень удобный формализм для описания и истинного антиферромагнитного основного состояния, и спиновых волн, и многих процессов рассеяния, связанных с магнитными ионами. Для выяснения некоторых простых свойств, оказывается, можно заменить гейзенберговский гамильтониан моделью Изинга или использовать приближение молекулярного поля.
Состояние совокупности спинов можно определить, задав компоненту каждого спина вдоль любой из осей. В модели Изинга гейзенберговский гамильтониан заменяют на
— S JijSz (i) St (/),
i>j
т. e. ограничиваются последними слагаемыми в соотношениях (5.20). Представленное на фиг. 145, б антиферромагнитное состояние есть собственное состояние в модели Изинга. Кроме того, она оказывается полезной при статистическом изучении магнетизма. Она, однако, представляет собой приближение по отношению к гейзенберговскому обменному гамильтониану.
§ 5. ПРИБЛИЖЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНОГО ПОЛЯ И ФЕРРОМАГНИТНЫЙ ПЕРЕХОД
Еще в 1907 г. Вейсс предложил одну из наиболее ранних теорий ферромагнетизма, которая носит название приближение молекулярного поля. В то время, конечно, она была сугубо феноменологической и предшествовала уяснению того факта, что спины выстраиваются параллельно благодаря обменному взаимодействию. Полезно, однако, посмотреть, каким образом это приближение вытекает из гейзенберговского обменного гамильтониана. Мы хотим выяснить, как ведет себя спин отдельного атома в результате взаимодействия со всеми остальными атомами. Это можно сделать приближенно, если так же, как в п. 2 § 4 гл. IV, выделить самосогласованное поле
<шех—— 2 —2(S J/k(S/)*Sft+ 2JkjSk'(Sj)) =
*>}, j h i>fc j<fc
= -2Sft-(2'^ft <S,-)), (5.21)
k i
где (S^) — среднее значение спина Sj. В начальной форме гамильтониана стоит Jи при i > /. В конечной мы положили Jц — Jji
§ 5. Приближение молекулярного поля и ферромагнитный переход 529
при j > i. В ферромагнетике (Sj) — вектор, параллельный полному спину системы, в антиферромагнетике он параллелен или антипарал-лелен спину подрешетки. Сделав это приближение, мы заменили двухэлектронный оператор одноэлектронным. Положим теперь, что эта система обладает полным упорядоченным спином (ферромагнетик), который мы будем считать направленным вдоль оси г. Тогда если любой заданный спин Sj взаимодействует с настолько большим числом соседей, чтобы имело смысл статистическое описание (даже 8 или 12 ближайших соседей может быть достаточным), то взаимодействие i-го иона задается просто произведением его z-компоненты на поле, пропорциональное полной спиновой поляризации. Мы получаем выражение, очень похожее на модель Изинга, но в котором все эквивалентные ионы «видят» одно и то же поле.
Интересно отметить, что конечное выражение в (5.21) имеет ту же форму, что и гамильтониан взаимодействия магнитного момента иона с магнитным полем, т. е. —(i-Н. Магнитный момент иона задается гиромагнитным отношением (или g-фактором, равным 2 для электрона), умноженным на магнетон Бора
и умноженным еще на спин S. Удобно поэтому выразить взаимодействие (5.21) через эффективное магнитное поле Я/, называемое иногда молекулярным, а иногда внутренним полем. Полагая ось г направленной вдоль <S^ >, получаем
Заметим, что Я/ пропорционально и параллельно намагниченности единицы объема
Тогда можно ввести связывающий их феноменологический параметр
Чтобы получить гамильтониан с учетом обмена в любом внешнем магнитном поле, к последнему нужно добавить молекулярное поле (5.22). В изотропной системе оба их можно считать направленными вдоль оси г, и гамильтониан с учетом взаимодействия с внешним полем принимает форму
2 тс
S?tx S (ifP'O’Si) Я/,
t
где
Н/=т.
(5.22)
<й?=-^р1(Я+Я/),
(5.23)
34-0257
530
Гл. V. Кооперативные явления
где
Р? =gHoSi*
Этот гамильтониан настолько прост, что легко найти собственные состояния системы как без внешнего поля, так и с ним.
Перейдем к вычислению намагниченности, а значит, и магнитной восприимчивости как функции температуры и приложенного поля. Намагниченность находится путем суммирования по единичному объему:
t
где N — число ионов на единицу объема. Используя гамильтониан (5.23) и соотношения обычной статистической механики, получаем
S(ize(H/+H)“l/Kr = ^e(Hj+H)nz/KT • (5.24)
*2
где сумма по ц1 означает суммирование по всем возможным ориентациям спина. В классической механике это среднее по всем углам, в квантовой это сумма по 2S + 1 состояниям. Для простоты мы вычислим среднее (5.24) для S = V2 и g = 2. Тогда = ± р0 и
QO-lioth (5.25)
Прежде чем приступить к вычислению молекулярного поля, интересно рассмотреть тот простой случай, в котором обменного поля нет:
Я, = 0.
Тогда полная намагниченность на единицу объема есть
