Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
1 _ 1 /° rt/_ I _ 1 (° —i\
1 2 2^1 0/i’ 2 а«~ 2 \i оЛ ’
<5'5)
Индекс i показывает, что матрица действует на i-e спиновое состояние. Можно непосредственно получить результат действия каждой из компонент спина на данное спиновое состояние. Например,
В выражениях, содержащих операторы спинов, три их компоненты рассматриваются как компоненты векторов *). Так, например, можно вычислить скалярное произведение спинов двух состояний:
SrS^SfSj-fSfSjf + SfS,*. (5.6)
Компоненты S для различных электронов действуют, конечно, на разные координаты и поэтому коммутируют друг с другом. Коммутационные соотношения для компонент спина одного электрона можно получить из (5.5), и они имеют вид
SfSf-SfSf = tSf, (5.7)
SfSf-SfSf = iSi, (5.8)
SfSf-SfSi = iSf. (5.9)
В большинстве случаев оказывается более удобным использовать операторы St и St, определяемые как
St = Sf -f iSf ? = о j для электронов J , (5.10)
S i = Sf — iS? [ = (j о) для электронов j . (5.11)
*) Точнее, псевдовекторов.— Прим. ред
§ 3. Операторы спина
523
Отсюда сразу видно, что
(5.12)
(5.14)
(5.13)
Таким образом, по аналогии с операторами рождения и уничтожения фононов оператор Si увеличивает z-компоненту спина на 1, a Si уменьшает ее на 1. Оператор Sf задает эту компоненту. Легко проверить, что скалярное произведение выражается через эти операторы следующим образом:
Из соотношений (5.7) — (5.9) вытекают правила коммутации:
Все эти результаты получены для электрона со спином V2. Соотношения (5.5), (5.12) — (5.14) и те, что стоят в квадратных скобках (5.10), справедливы только для этого случая. Выражения же для скалярного произведения и коммутационные соотношения такие же, как для общего оператора углового момента, и поэтому соотношения (5.6) — (5.9) и (5.15) — (5.18) применимы в случае ионов или атомов с произвольным полным спином [6]. Используя соотношения (5.6) — (5.9), можно убедиться в том, что Sf коммутирует с Sj -Sit поэтому состояния могут быть собственными состояниями обоих этих операторов одновременно. Можно также сразу показать, что, действуя на собственное состояние оператора Sf, оператор S* увеличивает собственное значение на 1, а оператор St уменьшает его на 1, оставляя собственное значение оператора S/ -S; неизменным.
Из соотношения (5.6) или (5.15) ясно, что величина (Sf>2 ограничена заданным полным спином, поэтому последовательное действие оператора Si на заданное состояние приведет к такому состоянию, действие оператора Sf на которое дает нуль. Обозначив максимальное собственное значение оператора Sf через S из соотношений (5.15) и (5.16), получим, что Sj *S| равно
SrSj = l (SiSi + SiSj) + SfSj.
(5.15)
SiSi — SJSi =2Sf,
srsf-stsr = sr,
St o+ c+c* o4 — Oi .
(5.16)
(5.17)
(5.18)
S + S2 = S(S + 1).
524
Гл. V. Кооперативные явления
Полагая S равным полному спину атома, находим, что, как хорошо известно, собственное значение Sf-Sf есть S (S + 1), а оператор S* может иметь собственные значения, отстоящие друг от друга на целое число в интервале от —S до S. Число S может быть либо целым, либо полуцелым.
Можно видеть, что, подобно фононным операторам рождения и уничтожения, St и Sj" не сохраняют нормировку. Для заданного полного спина S собственные состояния можно классифицировать по собственным значениям оператора S*, обозначенным как Sz. Тогда если | Sz> нормировано, то нормировочный интеграл для состояния S* | Sz) есть
(Sz | S-S+1 Sz) = (Sz | S+S" | Sz) - (Sz 12SZ | Sz).
Рассмотрим теперь состояние с Sz = —S. Тогда (Sz | S+S~ | Sz) = 0,
так что
(Sz | S"S+1 Sz) — 2S,
и состояние S+ | Sz) не нормировано, исключая только случай частиц со спином V*, т. е. таких, как электрон.
После этого краткого введения в свойства спиновых операторов мы можем заняться феноменологическим рассмотрением обменного взаимодействия.
§ 4. ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКИЙ ОБМЕННЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН
Начнем с описания зависящего от спинов взаимодействия между электронами, которое можно связать с введенным ранее обменным взаимодействием. Полученные при этом результаты и формализм, однако, оказываются непосредственно применимыми и для ионов, и для атомов. Мы постулируем, что зависящему от спина взаимодействию в гамильтониане соответствует слагаемое
— s (5.19)
Такой гамильтониан называется гейзенберговским обменным гамильтонианом и суммирование в нем проводится по всем парам электронов. Коэффициенты Jц называются обменными интегралами, и позднее мы выразим их через матричные элементы приближения Хартри — Фока.
Если два рассматриваемых состояния представляют собой состояния свободного атома, величина J имеет тенденцию быть положительной. Спины стремятся стать параллельными, как этого требует правило Хунда. Если взаимодействуют два состояния различных атомов, то величина J имеет тенденцию быть отрицательной. Это
§ 4. Гейзенберговский обменный гамильтониан
525
соответствует тому факту, что в связывающих состояниях электроны имеют антипараллельные спины. В твердых телах знак J может быть любым.
Представляет интерес вычислить прежде всего среднее значение обменного гамильтониана (5.19) для одного слэтеровского детерминанта, как это делалось в предыдущих параграфах. Рассмотрим это среднее значение для двухэлектронного состояния с двумя спинами, направленными вверх, и для состояния, в котором один из спинов направлен вверх, а другой — вниз. Чтобы сделать это,
