Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
6? = i-*3а2 (бб)*.
а. Найдите результирующую силовую постоянную для длинноволновых колебаний, распространяющихся в направлении [100]. Определите также максимальную частоту колебаний в этом направлении.
б. Найдите, с какой частотой колебался бы данный атом в направлении [100], если бы все остальные атомы были фиксированы. Этой частоте можно придать смысл эйнштейновской частоты.
2. Рассмотрим следующую модель NaCl: точечные заряды ±е связаны как электростатическими силами, так и пружинками- (При этом не учитывается электронная поляризуемость индивидуальных ионов, которая в реальном кристалле NaCl существенна.) Пусть статическая диэлектрическая постоянная еа = 4,4 (эта величина примерно равна истинному значению за вычетом электронной поляризуемости). Расстояние между ионами натрия в направлении [100] равно 5,63 А. Требуется оценить частоты продольных и поперечных оптических колебаний Ш; и со< (см. фигуру).
|. 5.63A L |
+ - + - +
+ - + -
+ - + - +
Структура NaCl
Оцениваются частоты щ и wf
а. В качестве первого шага найдите упругую постоянную для однородного распределения Na+ по отношению к С1~, выразив через нее статическую диэлектрическую проницаемость. Последнюю можно, например, записать как отношение напряжений на двух конденсаторах: между пластинами первого из них — вакуум, между пластинами второго — NaCl, причем плотность заряда на пластинах одна и та же.
б. Частоту поперечных колебаний можно рассчитать, предположив, что всякие источники заряда или поверхностные заряды отсутствуют. Продольную частоту можно определить как частоту моды с бесконечной длиной волны и со смещениями, перпендикулярными поверхности, т. е. в этом случае поверхностный заряд имеется.
3. Представьте себе медный пруток в гравитационном поле. Тогда на каждый электрон действует, конечно, гравитационная сила, равная mg. Одновременно возникает и элехтронное «экранирующее поле».
Задачи
511
а. Предположим, что структура меди не искажается гравитационным полем. Какой тогда будет электрическая экранирующая сила? (Ответ легче найти, если заменить силу mg эквивалентным внешним электрическим полем.)
б. Найдите дополнительную силу, возникающую, если структура искажается и имеется дилатация, зависящая от высоты. Для простоты предположите, что все смещения ионов вертикальны. (Ответ можно записать в простой форме, если вспомнить, что соответствующая упругая постоянная Сц и плотность меди р связаны со скоростью продольного звука соотношением of = = с„/р.)
4. Рассмотрим газ из N свободных электронов (все электроны с одинаковыми спинами) в объеме Й. Пусть взаимодействие каждой пары электронов описывается контактным потенциалом
ПП —гД = {М>(Г|-г,) (<=р/),
где р — некоторая константа. Основное состояние системы описывается плоскими волнами:
V = civcW-l-,-caci 1°>-
Определяя среднее значение оператора электрон-электронного взаимодействия, найдите энергию прямого и обменного взаимодействия электронов. (Расчеты могут упроститься, если считать IV и Й конечными.)
5. Рассмотрим газ свободных бесспиновых электронов. Гамильтониан такой системы
До*=2е*с*с*
к
н волновая функция основного состояния
Ъ= П <*ю>-
к<.кр
Введем возмущение
Я1 = 2 'Vfc+e**
k
с единственным q Ф 0 и запишем энергию основного состояния во втором порядке по Hi'.
? = ?„+ CV0\Hi | 2 1<У^-Д.4~°>|2 •
n
Энергия нулевого порядка
?о= (Ч,01 #о| Ъ) = <0 | С 1^2 • • • cjv 2 8ftchcftcwciv -1 • • • 10)=
= 2 8ft (To I To) = 2 B»'
к<кг k<kp
Выразите аналогичным образом через Vq и eh энергии в первом и во втором порядке. Энергия во втором порядке содержит сумму по к по некоторой области R. Какой должна быть эта область для двумерного газа?
в. Пусть колебания некоторого кристалла описываются моделью Эйнштейна:
Яф= Ашд 2 а5ав> я
512
Гл. IV. Колебания решетки и атомные свойства
где q принимает N значений. Пусть также гамильтониан электронов имеет внд
vi Л2*2
Не— St ehch с*> 8fc = 2m ' k
Наконец, пусть электрон-фононное взаимодействие описывается гамильтонианом
Нe<f — yyi/2 2 ck Cft (Oq-j-Oq). k,Q
Бесфононное состояние нулевого приближения имеет волновую функцию cj0 | 0) и энергию ек|).
а. Рассчитайте энергию до второго порядка по V.
б. Каково среднее значение полного числа фононов п в соответствующем состоянии первого порядка? Это число представляет собой безразмерную константу связи. Если <n) 1, мы имеем случай слабой связи и теория возмущений применима; при <л) > 1 связь сильная.
7. Определите поляроноподобиый сдвиг энергии электронов в полупроводнике для зоны проводимости с т* = т. Учитывайте только продольные волны и считайте закон дисперсии фононов дебаевским. Начните с выражения
6Е- У DV * <° I ckck^k+gck I °>
М
В качестве волновой функции нулевого порядка возьмите
|0) = с?| Вакуум)
с k = 0. Ограничьтесь только самым низшим порядком по mvjhq или тоЦЛюв-Получите окончательный результат для D = 5 эВ, М = 6-10* масс электрона и Люд = 0,025 эВ.
8. Потенциал взаимодействия при рассеянии электрона атомом примеси, закрепленным в точке Го, есть ш (| г — Го I). В свободном состоянии атом примеси при рассеянии испытывает отдачу, в реальном же кристалле он связан со своими соседями. Используя аппроксимацию п. 4 § 4, оцените вероятность того, что при рассеянии отдача не произойдет (при нулевой температуре). Получите грубую оценку для случая рассеяния на атоме цинка в меди.
