Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Первое состоит в замене электрон-электронного взаимодействия в гамильтониане самосогласованным потенциалом и некоторым фиктивным, зависящим от спинов слагаемым. К этому типу относится и метод Гейзенберга. При этом предполагается, что такое зависящее от спинов слагаемое в гамильтониане описывает влияние всех зависящих от спинов матричных элементов гамильтониана электрон-электронного взаимодействия. Это — в высшей степени плодотворное приближение, хотя оно и не выводится непосредственно из основных уравнений.
Второй подход состоит в пренебрежении всеми недиагональными матричными элементами и учете лишь прямого и обменного взаимодействий, фигурирующих в соотношении (5.2). Это — приближение
518
Г л• V. Кооперативные явления
Хартри — Фока. Оно близко по духу к тому методу, с помощью которого мы учитывали взаимодействие при расчете электронной структуры, и мы начнем именно с этого подхода, сделав предварительно дополнительное упрощение обменного взаимодействия, которое уже проводили в связи с анализом экранирования в п. 2 § 3 гл. II и п. 5 § 4 гл. III.
§ 2. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ ЗОННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
Обменный интеграл можно вычислить исходя из электронных состояний, отвечающих плоским волнам. Тогда, согласно соотношению (5.3), обменный матричный элемент для электронов с параллельными спинами есть
<k\ k\V\V, k> = -jp- j (r2_ri)
здесь V (rt — Гг) представляет собой просто кулоновскнй потенциал, а интегрирование по г2 — г, приводит к фурье-образу от V. Оставшееся интегрирование дает нормировочный объем Q. Таким образом,
<к',к|К|к', k) = Q|ff^k|>.
Далее, если к' отлично от к,
CpctCh‘Ch= —CpCh’ChCh= —Пк’Пк.
Для электронного газа, в котором заняты все состояния с к < kF, можно сразу же вычислить полную обменную энергию
? ________________________________________/54ч
Сех~ 2 Q 2л Ik'-kj* I0,4'
h'+h, к
(множитель Ч2 фигурирует в выражении для энергии электрон-электронного взаимодействия). Так как пк и пк> входят в выражение одинаково, мы можем вместо того, чтобы суммировать по к', вычислить обменную энергию электрона с волновым вектором к. Результат в отличие от энергии прямого взаимодействия окажется зависящим от к. Поэтому мы не можем ввести самосогласованного поля в том смысле, в каком мы могли бы это сделать для прямого взаимодействия. Даже если мы пожелаем учесть эту зависимость от волнового вектора, введя зависящий от к обменный потенциал, все равно возникнут трудности. Найденная обменная энергия имеет логарифмическую сингулярность при k = kF, возникающую при интегрировании (5.4). Это приводит к плотности состояний, обращающейся в нуль на поверхности Ферми, что противоречит экспе-
§ 2. Ферромагнетизм зонных электронов
519
рименту. Возникшая ошибка вытекает из сделанного нами предположения о том, что состояние системы описывается всего лишь одним детерминантом Слэтера. В многочастичной теории учитывается как возмущение зацепление за другие слэтеровские детерминанты, что приводит в конечном счете к уничтожению сингулярности при k = kF. Эти поправки к энергии, дополнительные к энергии прямого и обменного взаимодействий, представляют собой описанную в п. 5 § 4 гл. III корреляционную энергию.
Мы можем, однако, используя выражение (5.4), вычислить полную обменную энергию на электрон как функцию электронной плотности и выразить обменный интеграл через эту величину, как это уже делалось в п. 5 § 4 гл. III. Полная обменная энергия на электрон задается выражением
Для фермиевской функции заполнения, когда заняты все состояния ck<.kF, это выражение можно вычислить, прибегая, правда, к некоторым ухищрениям [21. Самые интересные особенности, однако, можно увидеть сразу. Интегрирование следует проводить внутри сферы Ферми, где пк и пк- равны единице. Поэтому переменную интегрирования можно заменить на k/kF, и тогда становится ясным, что интеграл пропорционален kF. Объем же Q/N, приходящийся на один электрон, пропорционален к]?. Таким образом, обменная энергия на электрон равна величине e2kF, умноженной на некоторую числовую константу. Более удобно выразить этот результат через электронную плотность, пропорциональную, конечно, величине k%. В результате получим
где р — плотность электронов (с обоими направлениями спина). Таким образом, мы нашли обменную энергию на электрон для однородного электронного газа с плотностью р.
Наконец, можно найти обменный потенциал, определяемый Коном и Шемом как dEex/dN или Слэтером как 2Eex/N. В обоих случаях мы получаем самосогласованный потенциал, пропорциональный плотности в степени V3. Он часто называется обменным потенциалом р1/з. Такое описание обменного взаимодействия приближенное, однако в этом приближении уничтожается сингулярность на поверхности Ферми, обусловленная обменом. Кроме того, используя такой потенциал, мы игнорируем корреляционные эффекты.
Учет обменного взаимодействия для свободных электронов при вычислении энергетических зон не приводит ни к каким фундаментальным изменениям. Он может лишь несколько перестроить диэлект-
520
Г л. V. Кооперативные явления
рическую функцию, определяющую потенциал, как это было показано раньше. Не ясно даже, улучшает ли это точность результатов.
