Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Обменное взаимодействие, однако, может привести к спонтанной намагниченности системы. Это иллюстрируется на фиг. 144. Для нормального металла мы должны предполагать равную заселенность
а 6 6
Фиг. 144. Схематическое изображение зон, поясняющее возникновение ферромагнетизма зоиных электронов.
а — заполнение состояний с противоположными спинами предполагается одинаковым; для состояний с обоими направлениями спниов обменная энергия одинакова, соответствующие нм зоны совпадают, и для тех н других электронов получаются одинаковые энергии Ферми; б — ситуация, в которой число электронов со спином вверх слегка превышает число электронов со спином вниз. Изменение обменной энергии понижает зоны, отвечающие спину вверх (сплошные линии), и повышает их для состояний со спином вниз (пунктирные линии). Тогда энергии Ферми для этих зон, вычисленные исходя из заранее предположенного их заполнения, могут отличаться. Если энергия Ферми электронов со спином вверх окажется ниже, то неферромагнитное состояние а будет неустойчивым. Еще большее заполнение состояний со спином вверх приведет к совпадению энергий Ферми электронов с противоположными спинами, что означает возникновение самосогласованного ферромагнитного состояния в.
электронами состояний со спином, направленным вверх и вниз. Тогда обменный потенциал одинаков для электронов с любым спином. Энергетические зоны окажутся одинаковыми, и мы находим для них самосогласованное решение. С другой стороны, если сделать заселенность состояний со спином вверх большей, чем со спином вниз, мы обнаружим, что величина обменного потенциала для электронов со спином вверх окажется большей. Так как обменный потенциал соответствует притяжению, отвечающие этому спину зоны окажутся ниже по энергии, чем зоны со спином вниз. По завершении всех вычислений мы увидим, совпадут ли уровни Ферми, выбранные, нами для электронов с противоположными направлениями спинов. В общем случае они не совпадают, однако можно выбрать полный спин таким образом, чтобы решение получилось самосогласованным. Для газа свободных электронов, если только его плотность не очень низкая, имеется только одно самосогласованное решение, отвечающее нормальному (с нулевым спином) газу. Поэтому ожидать ферромагнетизма в простых металлах нельзя.
В переходных же металлах, где плотность состояний носит весьма нерегулярный характер, возможно и второе самосогласованное решение с ненулевым полным спином. (Мы получим критерий возникно*
§ 3. Операторы спина
521
вения такой спонтанной намагниченности для простых систем в § 7 в связи с обсуждением локализованных моментов.) Как было показано в работах Вако и Ямаситы [3] и Кон ноли [4]; именно так обстоит дело в случае никеля и железа. Ферромагнетизм зонных электронов обсуждался раннее на более феноменологическом уровне Стонером [5]. Воспользовавшись самосогласованным решением, можно сразу же найти полное число нескомпенсированных спинов и, умножив его на магнитный момент, соответствующий одному спину, получить равновесную намагниченность материала. Оказывается, что полученный таким образом результат находится в разумном согласии с экспериментом.
Хотя описанный здесь метод рассмотрения обменного взаимодействия приближенный, он тем не менее представляет собой попытку получить ферромагнетизм, исходя из первых принципов. Сделанные при этом приближения состоят, во-первых, в том, что состояния системы, как мы предположили, описываются единственным слэте-ровским детерминантом, и, во-вторых, в использовании обменного взаимодействия, найденного для свободных электронов. Мы увидим, что для феноменологического гейзенберговского обменного взаимодействия необходимости в этих приближениях не возникает.
Мы предполагали также, что электроны могут распространяться по кристаллу, т. е. описываться блоховскими функциями. Как мы уже указывали ранее, возникает вопрос: не происходит ли здесь чего-то, подобного моттовскому переходу, и не становится ли поэтому более подходящим описание, основывающееся на представлениях о локализованных состояниях?
В дальнейшем при обсуждении магнетизма окажется удобным выразить гамильтониан и другие операторы через операторы спина. Так как этот формализм нами до сих пор не использовался, мы, прежде чем двигаться дальше, дадим краткую сводку основных его положений. Сейчас мы просто введем обозначения. Когда мы будем использовать их позже, то все те результаты, которые будут получены с помощью метода вторичного квантования, мы выразим эквивалентным образом через операторы спина. Эквивалентность можно проверить путем выполнения определенных в этом параграфе операций. Начнем с состояний одного электрона, а затем обобщим результаты на атомы с полным спином, большим V2.
Спиновое состояние электрона можно представить с помощью
а спину вниз — вектор . Таким образом, состояние t-ro электрона
§ 3. ОПЕРАТОРЫ СПИНА
нормированного вектора
вверх отвечает вектор
522
Г л. V. Кооперативные явления
задается, например, как^ (г<) . Операторы спина, фигурирую-
щие в гамильтониане или других динамических переменных, можно выразить через спиновые матрицы Паули. Три компоненты оператора спина S суть
