Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Локализованные моменты
547
Таблица 3
Матричные элементы, вносящие вклад в s — ^взаимодействие
< 1с4. kj | V | k*. ki > 4t43ek2eki Состояние fj+ cj+ | 0 > Состояние cd_f J+ | 0 >
Vi (k\k)cj+cj.+cd+cft+ V* (к', к) cjvcj+cd+cft+ Vi(k',k)cJ+cJ,_cd_ch+ (к', к) cj,+cj_cd_cft+ -Vifk'.k^eJ.JO) + V2(k',k)CJ+CJ.+ |0) 0 0 0 0 -Vt(k\k) «$#_!(» V2(k\ k)cj_ej.+ |0)
+ члены, полученные обращением всех спинов.
Оставшиеся четыре получаются обращением всех спинов. Следует обратить внимание на то, что имеется два различных типа матричных элементов, совпадающих лишь в случае контактного взаимодействия
^(r1-r2) = K06(ri-r2).
Используя соотношение (5.20), легко показать, что оператор
v«,= 2 —2У|(к', k)Sd.Se—У1(к2'’ k)6g<r + K2(k', к)ддо']Сц®
ft, k’
о,а'
(5.42)
приводит к тому же результату, что и оператор (5.40), если последний действует на состояния
1 °) и ctct 10)
или состояния, получающиеся из них обращением всех спинов.
Чтобы убедиться в этом, необходимо пояснить правила действия всех операторов. Оператор спина Sd действует на спиновые координаты d-состояний и коммутирует с операторами с, с* и Sc, которые действуют на подпространстве электронов проводимости. Оператор Sc можно разложить по компонентам Sc, Sc и S*. Тогда в комбинациях типа Фа’ Stcho оператор SJ увеличивает индекс а. Используя соотношение (5.12), получаем
2 Cft'(j'SJC(ia = cJ'+Cfc_. (5.43)
0,0' ' 7
Подобным же образом
S = (5.44)
о, О'
35*
548
Гл. V. Кооперативные явления
2 ci'o’Scc/w — ~2 (cfc'+cfc+ "Ь ck'-ch-)‘ (5.45)
о, а•
Два последних слагаемых в выражении (5.42) не зависят от спинов каждого из состояний и, следовательно, сохраняют спины каждого из них в отдельности. Они имеют ту же форму, что и члены, возникающие от простого потенциала. Первое слагаемое имеет форму обменного гамильтониана Гейзенберга
Vsd= -jf 2 y(k'> k)(5.46)
s. ft'
0,0'
и носит название s — d-обменного взаимодействия, причем величины J выражаются через электрон-электронное взаимодействие. Мы ввели множитель, равный обратному числу имеющихся электронов, так чтобы J не зависело от размеров системы. J имеет размерность энергии и составляет величину порядка электронвольта. Выражение (5.46) будет использовано далее для нахождения взаимодействия между моментами различных ионов, а слагаемое с V% (к', к), приводящее к рассеянию, будет опущено, поскольку к указанному взаимодействию оно не приводит.
Взаимодействие между моментами. Начальный вывод взаимодействия, которое мы желаем получить, относился непосредственно к случаю ядерных моментов [8]. Но он основывался на выражении, имеющем форму (5.46), поэтому результаты оказываются совершенно аналогичными.
До сих пор речь шла об одном локализованном состоянии. Теперь нужно ввести зависимость взаимодействия между двумя моментами от их взаимного расположения. Вернемся для этого к выражению (5.41), взяв в качестве волновых функций зоны проводимости плоские волны, а для d-состояний — соответствующие d-функции, центрированные на ионе в узле R. Воспользовавшись таблицей матричных элементов, величину (к', к) можно записать в виде
Vi (к', k) = -i-j dVjdV^S (г,—R) е~lh' • r*V (г,—r2) ф„ (r2—R) eih ? r‘= = e-i(ft'-ft).«^. J dV.dV^J (r,- R) *-<*'• (Г2-Я)у (r,-r2) X
Хфй(г2—RJe1*-^-*).
Последний интеграл уже не зависит от R, а вся зависимость сосредоточена в стоящем перед ним фазовом множителе. Таким образом,
/(к', к; R) = e-1<h'-fc) «J(k', к), что совпадает с ранее полученным результатом при R = 0.
§ 7. Локализованные моменты
549
Найдем теперь сдвиг энергии системы в низшем порядке по V,а, Ясно, что такой сдвиг появится лишь во втором порядке теории возмущений, где каждый из двух матричных элементов относится к одной из примесей. Он имеет вид
АГ_ v <° I vtd (Ri) I *> <» I v*d (Ra) I °> ? V <01^4 (R2) I j) a I Vtd (Ri) 10) 6t~2i Eq—?j +2j Eq—El
t i
где Ri и R2 — координаты двух примесей, | 0 > — исходное основное состояние, а | О — промежуточное состояние.
Обе суммы дают одинаковые результаты, поэтому мы вычислим лишь первую и умножим ее затем на 2. Используя выражение (5.46), получаем
N* Zj efc—efc. A
h, ft'
a, o'
X (0 | Cfco (Srfj* Sc) Ck'tfCb'o' (Sjj' So) Cha \ 0),
где Sdl и Sj, — спиновые операторы, относящиеся к локальным состояниям на узлах Rt и R2 соответственно.
Произведение операторов уничтожения и рождения ограничивает суммирование по к областью ниже, а по к' — выше энергии Ферми. Можно, однако, суммировать по всем к', так как для к', меньших фермиевского импульса, каждая пара состояний кь к2 появляется один раз как к, к' и один раз как к', к. Вследствие же изменения знака энергетического знаменателя соответствующие им слагаемые взаимно уничтожаются. (Таким образом, принцип Паули не сказывается на результате вычисления поправки второго порядка; это, однако, не относится к случаю рассеяния, рассматриваемому в следующем параграфе.)
Вычислять произведение спиновых операторов удобнее, если представить его в форме
(Sd. Sc) = [S5 • S? + l (SJSr+SdSc+)].
Электроны проводимости в состоянии | 0) имеют точно определенные спины. Оператор St, содержащийся во втором множителе выражения
