Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
Можно продвинуться несколько дальше и вычислить энергию связи куперовской пары. Если функция wk не зависит от k, то интеграл расходится. Предположим поэтому, что она постоянна в некоторой области энергий вблизи поверхности Ферми и при некотором значении энергии еЛ — Ер = Ее скачком обращается в нуль. Эту энергию обрезания будем полагать много меньшей энергии Ферми. Таким образом, сумму по волновым векторам можно заменить интегралом по энергиям электрона (что вполне законно, поскольку интересующие нас значения Е лежат вне области интегрирования) и в качестве плотности состояний подставить ее значение при энергии Ферми. Отсчитывая все энергии от энергии Ферми, получаем
к О
Отсюда находим
| | = g-vxu>An (V. (5.57)
Плотность состояний, отвечающую паре, мы записали в виде п (Ер)12, так как матричный элемент взаимодействия связывает лишь пары с одной и той же спиновой конфигурацией и, следовательно, лишь половину от общего числа состояний. Поскольку для связанной пары энергия Е отрицательна, левую часть соотношения (5.57) можно представить в виде
|?|+2Ее |?| ‘
Отрицательна и величина ho\, характеризующая силу электрон-электронного взаимодействия. Мы полагаем это взаимодействие очень слабым; поэтому в экспоненте стоит очень большая положительная величина, и, следовательно, | Е | ^ ?с. Таким образом, энергия связи определяется выражением
|?| = 2?ce_4/Uu’*|n(E*).
§ 9. Теория Бардина—Купера—Шриффера (БКШ)
561
Следует обратить внимание на то, что энергию связи нельзя представить в виде степенного разложения по потенциалу взаимодействия hefk- Таким образом, найденное нами состояние никак нельзя получить с помощью теории возмущений. Заметим также, что величина ah оказывается наибольшей на поверхности Ферми и падает при больших энергиях. В нашей модели она точно обращается в нуль при энергиях, превышающих энергию обрезания: eh > ?с. (Опять-таки eh отсчитывается от энергии Ферми.) Можно показать, что энергия связи Е для состояний с отличным от нуля полным импульсом пары имеет меньшую отрицательную величину. Таким образом, система более неустойчива относительно образования покоящихся пар.
Чтобы показать, что нормальное состояние электронного газа неустойчиво, достаточно найти хотя бы какое-нибудь состояние с энергией, меньшей энергии нормального состояния. На нестабильность нашей модельной системы указывает возможность возникновения куперовских пар. Теперь же мы хотим найти основное состояние всей системы. Эта задача приближенно решается микроскопической теорией сверхпроводимости.
§ 9. ТЕОРИЯ БАРДИНА — КУПЕРА — ШРИФФЕРА (БКШ)
Выше мы рассматривали взаимодействие одной лишь пары электронов, хотя взаимодействуют друг с другом, конечно, все электроны. Можно было бы попытаться построить из каждой пары электронов куперовские пары. Но это, очевидно, противоречило бы принципу запрета. Поэтому мы должны быть более аккуратными и с самого начала строить многоэлектронную волновую функцию.
Здесь будет приведено решение этой задачи, основывающееся на вариационном принципе и данное Бардином, Купером и Шриф-фером. Иной метод решения, использующий спиновую аналогию, был предложен Андерсоном [2]*).
Прежде всего необходимо переписать электрон-электронное взаимодействие в виде редуцированного БКШ гамильтониана, в котором оставлено лишь взаимодействие между парами электронов с противоположными импульсами и спинами. Мы будем исходить из взаимодействия (4.58), сохранив в нем только те слагаемые, которые связывают электроны в такие пары. Удобно представить каждое слагаемое в виде суммы двух эрмитово-сопряженных операторов. Поскольку каждое из них повторяется дважды, эту сумму следует
1) Кроме того, существует метод ханоннчесхого преобразования Боголюбова [29].— Прим. ред.
36-0257
562
Гл. V. Кооперативные явления
поделить на 2. Таким образом,
\ / V* V
Velel = 2ЛГ 2 (eh-ek+qq-h<Oq ct+<fi*-h-qC-hCk +
ft, q
V*v v
+ eft-Ek+q — л'со, cict ^-h-qck+q ) .
Суммирование здесь производится по всем к; при этом, чтобы не учитывать каждую пару дважды, состоянию к мы приписываем спин, направленный вверх, а состоянию —к — спин вниз. Два таких слагаемых можно объединить, положив во втором k + q = х и изменив знак индекса q, по которому проводится суммирование. В результате второе слагаемое принимает форму
1 xi v*v* + +
2N 2j e^+q -ек-1Шд с*+чс~ x,q
Заменяя переменную х на к и комбинируя оба слагаемых, получаем
VZVghvJN
elel = 2 (eft-eh+,)2-(/i(09)2 (c-ft-<A+<i)+ (с-Асй)- (5-58)
ft. Я
Мы сгруппировали операторы рождения и уничтожения электронов таким образом, чтобы получить операторы рождения и уничтожения пар. Оператор
Ьк = с.кск
уничтожает, а оператор
Ьк — СкС—h = (С—fcCft)+
рождает пару электронов. Из гамильтониана взаимодействия (5.58) следует, что электрон-электронное взаимодействие отвечает притяжению, если связываемые взаимодействием состояния имеют достаточно близкие энергии, т. е. если они лежат достаточно близко к поверхности Ферми. Это как раз и есть то притяжение в определенном интервале энергий, которое приводит к неустойчивости. Область, в которой взаимодействие может оказаться притягивающим, ограничивается интервалом, величина которого порядка дебаевской энергии h(oD. В простейшем приближении коэффициент, стоящий перед операторами рождения и уничтожения пар в (5.58), полагают равным некоторой константе в указанном энергетическом интервале и нулю вне его. Это аналогично тому приближенному рассмотрению взаимодействия, которое мы использовали при получении куперовских пар.
