Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
W = 2 [2 (eh — р) v\ + Ah (и\ + t»l)l + 2 Vh'hUh'Vh'UhVh.
ft ft, ft'
Задача состоит в том, чтобы найти величины ик, vh, Хк и р, решив систему уравнений
к
Два первых уравнения имеют вид
ДТК"
= 2 AftUft — 2oftAft = О,
= [4 (eh — u) + 2Aft] vk — 2u/,Aft = 0,
где параметр Лк называется энергетической щелью и определяется равенством
Д*= — 2 VVftUft-iv. (5.62)
л*
Эти уравнения можно переписать в более удобной форме, введя энергию
Eh = eh — р + А*,
которая окажется равной энергии возбужденного состояния сверхпроводника. Это означает просто замену множителя Лагранжа Aft более удобным параметром. Подставляя вместо величины 2Aft ее выражение через Ек, получаем
[Я* - (eft - р)] мл - AftOft = 0,
[?л + (eh — p)] t>ft — Алы,, = 0.
Опять-таки оказывается более удобным перейти от этих уравнений
к другим. Умножим для этого первое из них на vh, второе — на ик
и сложим полученные уравнения, учтя при этом, что
U*ft+l* = l.
Это дает
Ufti>ft = 2^. (5.64)
Подставляя получающееся отсюда выражение для ик,
§ 9. Теория Бардина — Купера — Шриффера (БКШ) 567
в первое из уравнений (5.63) н разрешая его относительно tih, находим
• <5-65>
Выразим теперь параметр vk через Ек из первого уравнения (5.63) и подставим его во второе из этих уравнений. Сократив результат на ик, получим
El — (ел — р)2— А\ =0,
или
Eh = ± V(вк — ц)2 + Дк. (5.66)
Лишь решение со знаком + приводит к тому, что величина vk стремится к нулю при больших ек, и поэтому именно оно имеет физический смысл. Заметим, что v* есть вероятность найти электрон в состоянии с волновым вектором к. Из соотношений (5.65) и (5.66) мы видим, что эта вероятность ведет себя так, как показано на фиг. 153, а. Для нормального состояния при абсолютном нуле эта вероятность описывается просто ступенчатой функцией, представленной на фиг. 153, б. Отсюда ясно, что множитель Лагранжа ft равен энергии Ферми. Мы будем н дальше использовать букву р для обозначения энергии Фермн при конечной температуре, а не букву ?, употребляемую в этом случае для нормального металла. Так принято, поскольку в теории сверхпроводимости символ 5 зарезервирован для обозначения длины когерентности, которая вскоре будет нами определена.
Вариационное решение привело к функции заполнения состояний, уменьшающейся непрерывно в окрестности энергии Ферми. Мы должны теперь определить еще величину энергетической щели А*. Уравнение для величины Ак можно получить, подставив в ее определение (5.62) выражение (5.64) для ukvk. В результате получим
Д* = - 2 Vk-kUk-v^ = ~y 2 VjriL• (5.67)
ft- ft- ft'
Это уравнение называется уравнением для энергетической щели. Отметим, что уравнение это интегральное и оно может быть решено, если мы знаем форму потенциала взаимодействия VVk.
Проведем вычисления для простейшей модели, в которой Vk'k равно константе —V, при | ек | и | ек< |, меньших йю0, и нулю при всех других значениях энергии. Параметр обрезания мы выбрали равным дебаевской энергии. Тогда из уравнения (5.67) следует, что для
| е* | > йюд
568
Гл. V. Кооперативные явления
параметр Д* равен нулю, так как равна нулю величина Wh при всех значениях | ед |. Для
| Вк | < Й(0д
уравнение (5.67) приводит к постоянному значению Ад, не зависящему от еЛ. Мы обозначим его как Д0. Столь простая форма Дд
Фиг. 153. Вероятность заполнения одноэлектронных состояний цд как функция одноэлектронной энергии ед при Т = 0. а — сверхпроводник; параметр Д для наглядности принят равный l/е энергии Ферын. хотя на саыоы деле он составляет величину порядка 10-3; б — нормальный электронный
газ.
есть следствие выбранной нами простой модели взаимодействия. Величину Д0 можно найти, взяв соответствующий интеграл. Имеем
д _Лд 'V I у д°вС dz
2 V(eh —и)* +До_ 4 J^yw+Ц'
При интегрировании мы опять отсчитывали энергии от энергии Ферми и воспользовались тем обстоятельством, что плотность состояний, отвечающая парам, равна п (е)/2 при энергии Ферми. Сокращая Д0 слева и справа и проводя интегрирование, находим
1 =-^-л (?» In
Уй*Шд + А? +hwD
В пределе слабой связи, который предполагался при получении сверхпроводимости, квадратный корень под логарифмом можно разложить в ряд по До/й(00. Таким образом, получим
До = 2Й(о1*Г2/Уп(Я*). (5.68)
Как и в случае связанных пар, мы пришли к результату, который нельзя получить ни в каком порядке теории возмущений по элект-рон-электронному взаимодействию.
Поскольку параметр Vn (EF) много меньше единицы, величина щели Д0 много меньше дебаевской энергии h(aD. Энергетическая щель До оказывается величиной порядка КТС, где Тс — крити-
§ 9. Теория Бардина—Купера — Шриффера (БКШ) 569
ческая температура перехода в сверхпроводящее состояние. Последняя составляет всего лишь несколько градусов (наибольшая из ныне известных критических температур чуть превосходит 20 К), что много меньше температуры Дебая, составляющей несколько сот градусов. Отметим тут же, что полученная энергетическая щель должна обнаруживать изотопический эффект, ибо выбранный нами параметр обрезания %aD зависит от массы изотопов, образующих кристалл.
