Теория твердого тела -
Скачать (прямая ссылка):
<я?=у 2 Si-Sj~5-2’s*-s*
i>i. i i. i
где J > 0. (Возьмите четное N.) Здесь штрих означает отсутствие слагаемых с ( = /.
а. Каково точное основное состояние системы? (Указание: оно должно быть также собственным состоянием оператора S*, где S = 2 §{-) Каков
i
полный спии в основном состоянии?
б. Каково среднее значение оператора
2 ^=42 ^1
i>j,) i. i
в антиферромагнитном состоянии, изображенном на фиг. 145 и в найденном в задаче са> основном состоянии?
3. Рассмотрим три магнитных иоиа, со спином */2 каждый, связанные друг с другом гейзенберговским обменом. Пусть приложено внешнее магнитное поле Н, так что гамильтониан имеет вид
В модели Изинга состояния задаются спином (+V2 или —*/2) отдельных ионов (S| -Sj = ±Vi). Взяв среднее статистическое по восьми таким состояниям, найдите величину иамагничеииости
<M>=2po<Si+St+S3>
и восприимчивость
д(М)
дН
Н-0
(В ответ должна войти величина р|, и переходить там к величине (р*> ие нужно.)
4. Мы представляли магноны с помощью линейной комбинации состояний, отвечающих перевороту отдельных спииов. В одномерных ферромагнетиках можно попытаться построить возбужденные состояния, отвечающие перевороту пары соседних спииов:
V = A 2S-S?+14y<*«".
n
Такое состояние есть приближенное собственное состояние системы. Пара^ метр А — нормировочная постоянная.
39*
604
Гл. V. Кооперативные явления
а. Покажите, что это не есть собственное состояние системы, использовавшееся для построения магнонов. Какие дополнительные слагаемые нужно добавить, чтобы это было так? (Речь идет не о коэффициентах, а о комбинации спиновых операторов.)
б. Если обменный гамильтониан Гейзенберга заменить здесь моделью Изинга со взаимодействием ближайших соседей, то энергия магнона окажется равной 2JS и не зависящей от q. Какова энергия указанного выше состояния в модели Изинга?
Рассматривая пару взаимодействующих магнонов как связанные частицы, найдите энергию связи. Связанные магноны обсуждаются в работе [27].
5. Рассмотрим простой металл с локальным моментом (спин х/г) на растворенном в нем атоме переходного металла. Пусть приближенный гамильтониан имеет вид
$6=^ Eh(nh++rib-)-i-Ed(nd++ndJ)+Und+nd-—Y ^ Ck-o'Sd'SoCko-
о, о'
Операторы Sa действуют на спиновые состояния, обозначаемые с помощью индекса о. Найдите выражение для полной вероятности рассеяния, вызываемого примесью и описываемого последним слагаемым гамильтониана, из состояния:
С*О0О П ^k+ Ch—Cd+ | 0), h<kp
где k0 > kp. Учитывайте только такие процессы, в которых из состояния k0Oo электрон уходит, а саму вероятность вычисляйте лишь с точностью до У*, рассматривая, однако, при этом как случай о0 = +, так и ог0 = —. В ответе ие должно содержаться никаких операторов.
6. Рассмотрим металл, описываемый редуцированным гамильтонианом БКШ,
Ш = S 2&kbtbk + 2 VhhWk;
Т к, к'
положим, что взаимодействие
Укк* = Я | ед || ev |
при
I еЛ | < b<aD и | еЛ' | < h(aD и равно нулю для других значений энергии. Здесь энергия еЛ отсчитывается от энергии Ферми.
а. Найдите Дд> решая уравнение для щели, и выпишите критерий существования сверхпроводимости. [Это должно быть условие на параметр N (0) X (Ao>z>)*, необходимое для существования решения с действительным Дь]
б. Нарисуйте плотность возбужденных состояний как функцию энергии (внутри и вне интервала Ъо>х>). Этот случай отвечает «бесщелевому сверхпроводнику».
7. Вычислите критическую температуру сверхпроводника в простой модели. Уравнение для щели при Г = 0, т. е.
ЙШд
, Vn(EF) f dE
4 i Уе*+Д*’
-ЙШд г
мы получили, предполагая, что сверхпроводящее состояние строится из всех одноэлектроииых состояний.
Задачи
605
Из-за теплового возбуждения квазичастиц при конечной температуре для построения сверхпроводящего состояния оказывается возможным использовать лишь часть состояний, отвечающих парам. Поэтому подынтегральное выражение следует умножить (см. [13]) на
th v*±&
ш 2КТ .
Этот множитель отличается от того, что можно было бы получить, исходя из простейших соображений, однако он, как и ожидалось, приближается к нулю для энергий возбуждения, много меньшнх КТ, и стремится к единице в противоположном пределе.
а. Найдите критическую температуру Тс, определяя ее как температуру, при которой А обращается в нуль. Под интегралом для простоты полагайте, что
th jc—*- дс при 0<дс<1.
1 при 1 < X < оо.
б. Сравните величину КТС со значением Л при Т = 0 при условии, что
e2in(EF)v»\
8. Рассмотрим схему на фиг. 158 в случае большого приложенного напряжения Vo- Если емкость С велика, то через сопротивление R не течет почти никакого тока, а ток, идущий через емкость и джозефсоновский переход, будет равен
, . 2eVt
В цепи не рассеивается никакая мощность, н батарея не совершает никакой работы.
а. Определите ток через сопротивление R в низшем по 1/С порядке й из закона сохранения энергии найдите, какой дополнительный ток должен идтн в цепи. [Он окажется величиной порядка (1/С)2.]
б. Какая причина заставляет течь через переход этот дополнительный
ток?
9. Согласно теории Гинзбурга — Ландау, свободная энергия сверхпроводника задается выражением
