Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь (5.15) при вычислении характера каждого элемента в произведении представлений, разложим это произведение на неприводимые представления и подсчитаем, используя (3.150), сколько раз каждое неприводимое представление входит в него. [После выполнения этих двух этапов вычислений мы получим коэффициенты ряда Клебша — Гордана (5.108).] При построении полной таблицы правил отбора более удобно следовать именно этому методу, нежели объединять эти два этапа и пользоваться соотношением (5.105). Проиллюстрируем метод на примере группы C3v. При рассмотрении этого первого примера мы перепишем еще раз таблицу характеров (см. табл. 17), но в последующих примерах приводить таблицу мы не будем. К таблице характеров присоединим характеры всех произведений представлений:
Gzv Е С3(2) о*( 3)
Ай г 1 1 1
Rz, Аг 1 1 —1
Rx, Ry\ ?; л, у 2 —1 0
•^і X А\ 1 1 1 =А,
^1 X ^2 1 1 -1 = А3
АхХЕ 2 —1 0 =Е
¦^2 X ^2 1 1 \=АХ
ЛгХЕ 2 —1 0 = Е
EXE 4 1 0 = А і -|- А2 -j- Е
Ясно, что ббльшую часть результатов можно получить, обозревая эту таблицу. Во-первых, произведение единичного представления и любого другого представления дает только последнее представление (так как ф^У?* = <P^v))- Во-вторых, произведение двух одномерных представлений есть представление одномерное и должно быть неприводимым. Единственным приводимым произведением представлений в рассматриваемой таблице является произведение Е X
200
Г лава 6. Физические приложения
Это представление четырехмерно, сумма квадратов модулей его характеров равна (4)2 —J— 2 (I)2 = 18. Из (3.151) имеем
18 = g‘ 2 ац • или 2ац=3> и и
с единственным решением
аА1 — аА1 — аЕ~ ^
так что
?Х? = /!і + 4+?. (.6.8)
Тот же результат можно получить и из (3.150):
в* = ^ [(1) (4) (1) + (2) (1) (1) + (3) (0) (1)] = 1.
аА= F [(1) (4) d) + (2) О) 0) + С3) (0) (!)1 = 1 • (6'8а)
аЕ = | [О) (4) (2) + (2) (1) (-1) + (3) (0) (0)] = 1.
Равенство (6.8) означает, что если мы возьмем произведеиия функций одной системы партнеров, принадлежащих представлению Е, и функций другой системы партнеров, принадлежащих тому же представлению Е, то мы получим четыре функции, образующие базис представления Е X Можно найти такую линейную комбинацию этих произведений функций, которая принадлежит представле* нию Ai', другая линейная комбинация будет принадлежать представлению А2 и две линейные комбинации, образующие систему партнеров, будут принадлежать представлению Е. Заметим, чтй в таблице характеров г Принадлежит представлению А1г ахну, образующие систему партнеров, принадлежат представлению Е. Тройка функций Р = (РХ, Ру, Рг) называется (полярным) вектором, если эти функции преобразуются как компоненты радиуса-вектора г = (х, у, z). Таким образом, для любого вектора Р компонента Pz принадлежит представлению Ах, а компоненты Рх и Ру, составляющие систему партнеров, принадлежат представлению Е. Если заданы два (полярных) вектора Р и Q, мы имеем две системы партнеров, принадлежащих представлению Е: Рх, Ру; Qx, Qy. Произведение представлений Ё X Е имеет в этом случае базисные функции
PxQx> PxQy> PyQx< PyQy
В этом простом примере линейные комбинации, принадлежащие представлениям Ах, А2, Е, можно найти, рассматривая таблицу. Тем не менеа мы получим этот результат непосредственно, чтобы
§ 3. Правила отбора
201
получше ознакомиться с произведением представлений. В § 2 гл. 4 мы выписали матрицы группы Giv в представлении Е:
F. С,
V
о ,
v
О о | СО "є2 0 О со О '0 єг
0 1_ * 0 є2 1 1 СО О 1 « 1 о * є2 0 « г 0
(6.9)
где базисными функциями были функции либо eltf И e~l(V, либо х-\-1у И X—iy, либо Рх + 1Ру и Рх — IPу. Воспользуемся теперь соотношением (5.4), чтобы найти матрицы произведения представлений:
Е Сз Сз2
' 1 0 0 0” " Є2 0 0 0“ є 0 0 0 "
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
_0 0 0 1 _ _0 0 0 є _ _0 0 0 є2 _
СТр Ov' Op'
~0 0 0 1 ¦ '0 0 0 є “0 0 0 є2-
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
_ 1 0 о 0_ _ Є2 0 0 0_ _є 0 0 0
(6.10)
где строки и столбцы расположены в лексикографическом порядке. Заметим, что во всех матрицах связаны только компоненты 11 и 22 и компоненты 12 и 21. В силу этого матрицы приводимы. Матрицы, связывающие компоненты 11 и 22, являются матрицами представления Е, и поэтому произведения
(Рх + lPy) X (Qx + iQy) и (px-tpy)X(Qr-tQy)
принадлежат представлению Е. Взяв их линейные комбинации, мы сможем также утверждать, что
PxQx — PyQy И PxQy + PyQx
принадлежат Е. Если взглянуть на матрицы, связывающие компоненты 12 и 21 [базисные функции (Pv-\-iPy) (Qx — lQy) и
(Рх — /Py)(Q^-f-i-Qy)]> т0 можно заметить, что для представлений Е, Сз, Сз они имеют вид
1 0
202
Глава 6. Физические приложения
а для представлений av, av>, aV"—вид
Взяв в качестве новых базисных функций линейные комбинации (Рх + iPy) (Qx - iQy) + (Рх - iPy) (Qx + iQy) = 2 (PXQX + PyQy)
И
(Px + iPy) (Qx - lQy) - (Px - lPy) (Qx + iQy) = 2i (PyQx - PxQy),
можно разложить эти произведения на неприводимые компоненты. Таким образом,
PxQx + PyQy принадлежит представлению А1г
