Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
X, Х2 (5.145)
Поскольку представления унитарны, мы можем, умножив (5.145) на перенести все матрицы представлений в левую часть этого
*зхз
равенства:
Ц ?)=(? ? 'j. <?лщ
Перейдя в равенстве (5.146) к сопряженным величинам, используя
унитарность представлений и заменяя R на R, получаем
ОИ!.(«)МЙ,(Л)Ма.да(^ ? ?)’ = (? ІІ ?)' (5.146а)
Зу'-символ полагается равным нулю, если (У1У2-/3) = 0. поэтому нет необходимости указывать пределы суммирования по у, Полагая в (5.142) j' = j = Уз, y! — x = x3 и суммируя по х3, получаем
/Л Л Щі\ Л лу .
Ul Х2 X3/U1 х2 х3] -(УіЛУз)'
Выберем это обозначение, специально приспособленное для трехмерной группы вращений, и положим (—l)®^ = 1, если j — целое
188
Глава 5. Различные операции с представлениями групп
представление, и (—1)2;==— 1, если J — полуцелое представление. Тогда мы можем записать
(5.148)
(J1 J2 ./з|_ J 2Л+2Л+2/Л-/1 h J3
\Xj Х2 Х3/ \Xj Х2 Из/
поскольку по лемме § 8 настоящей главы Зу'-символ обращается в нуль, если
^__ iylJi + Vi + 2Jt_? J
Можно также условиться, что (—1)^=1, если j — четное представление, и (—1У = —1, если j—нечетное представление. Если же J—представление, не являющееся ни четным, ни нечетным, то (— 1)^ можно произвольно положить равным 1. При полуцелом j можно произвольно положить (—1)^ равным / или —/, но после того, как выбор произведен, значение (— iy всюду должно быть одним и тем же.
Приведенное кронекеровское произведение коммутирует с любой диагональной матрицей, в которой все диагональные элементы, соответствующие данному неприводимому представлению, одинаковы. Поэтому Зу-символ можно умножать на величину со(j\, j2, j3), зависящую от j\, j2, Уз, но не зависящую от xlt х2, х3. Если представление должно быть унитарным, то | со |2 = 1.
Воспользуемся соотношениями ортогональности (3.137), чтобы преобразовать (5.144) к виду
7, h J,XU, h h\ 49)
S D'Ji (/?) Dili («) D'Ji (/?) = g
Я
i x2 x31
Замена коэффициентов Клебша — Гордана Зу-символами с множителем [у/2 позволяет нам сделать это равенство симметричным относительно матриц представлений. Полагая в (5.149) = находим, что
Я,2 Я,3
J і Уг Зъ
X, X,
У 2 J1 У 3 х2 X! х3
Уз У 1 j 2 х3 щ х2
и т. д., (5.150)
:(-1)
т. е. что абсолютное значение Зу-символа не изменится, если переставить столбцы.
Докажем далее, что всегда можно так выбрать фазовые множители соОУзУз), что
Л У і Уз
х2 Щ и3 /
__/___jy'i+Л+Уі / J'1 ^2
V х; х3 х2(
откуда с помощью соотношения (5.148) получим
J1 У2 Уз \ / У2 Уз Уі \ I Js Jl Jl
J і Уг Уз
Xj х2 х3
(5.151)
Xj х2 х3
X, X,
X, X,
(5.152)
§ 9. Зі-символьї
189
Иначе говоря, фазовые множители всегда можно выбрать так, чтобы Зу-символы не изменялись при четной перестановке столбцов и умножались на коэффициент (—1 У' + І2+1% (равный ±1) при нечетной перестановке.
Чтобы получить равенства (5.151) и (5.152), выберем какой-нибудь конкретный набор х10, х20, и30, для которого Зу'-символ
У і Уг У з
*10 х20 *30,
не обращается в нуль. Из (5.150) мы видим, что для этой тройки х не будут обращаться в нуль и Зу-символы с переставленными столбцами. Выберем теперь фазовый множитель со (у^Уз) гак, чтобы 3у-символ
У і У*2 Уз
х10 х20 Х30
был вещественным и положительным. Выберем, далее, фазовый множитель со(УгУіУз) так> чтобы выполнялось первое из равенств (5.151). Это всегда возможно, если у1=/=у2, поскольку в этом случае множитель со (УзУїУз) не зависит от со (У1У2У3)- Если же j\ = J2, то первое из равенств (5.151) означает просто
У> Jl J'A==,lfjl+jJJl Ji Уз
Xj х2 х3/ Xi х3/
т. е. представление у3 содержится в симметричном квадрате представления у!, если представление у3 —2Ух четно, и содержится в антисимметричном квадрате j\, если у3 —|— 2нечетно. Аналогично, мы можем сделать так, чтобы выполнялось второе равенство (5.151) [а следовательно, и (5.152)] при х10, х20, х30. Но в этом случае, если в (5.149) вместо хг подставить хго, мы увидим из симметрии левой части равенства, что равенства (5.151) и (5.152) будут выполняться при всех A,j, Я,2, Я-з- Эти равенства сохранятся, если все Зу'-символа умножить на фазовые множители со(УіУгУз), полностью симметричные по у!, у2, у3.
Далее мы рассмотрим (5,144) в частном случае, когда у2 есть единичное представление. Обозначим это представление у2 = 0, а его единственную строку (н столбец) обозначим индексом х2 = 0. Кронекеровское произведение представлений и D(o) содержит только
представление D(h), так что в этом случае из (5.144) следует:
1 0 -М n";V — ! 0 Л
о J 0 1];|. (5.144а)
190
Глава 5. Различные операции с представлениями групп
т. в. унитарная матрица
(5.153)
которую мы будем называть 1 j-символом, преобразует представле-
Перейдя в (5.154) к комплексно сопряженным величинам, получим
Для этого частного случая условия унитарности (5.142) и (5.142а) сводятся к условиям
которое является лишь иной формой утверждения (5.79): матрица, преобразующая представление в комплексно сопряженное, симметрична либо антисимметрична в зависимости от того, является ли это представление целым или полуцелым.
Фактическое вычисление 3у'-символов (или коэффициентов Клебша— Гордана) зависит от конкретной структуры группы. Мы остановимся на этом вопросе при рассмотрении представлений отдельных групп.
