Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Е2 X Aj = В2, В2 X А2 = Bi, В2 X В\ = А2,
В2 хв2: Aj, В2 X Е = Е, Е X А\ = Е,
ЕХА2 = Е, ех в1 = е, ЕХВ2=Е, )
Е X Е = Л і -j- А2 -(- В} -j- В2.
§ 3. Правила отбора
205
Залетим, что в таких группах, как группа D2d, где имеется выделенная ось (направление оси z), матричные элементы Pz отличаются от матричных элементов Рх и Р Это различие наноминает различие между я- и a-компонентами в обычной спектроскопии. Для компоненты Рг разрешенными переходами оказываются переходы
Ах Ч—У В2, А2 ^ В\ , Е Ч—У Е,
в то время как для Рх и Ру разрешенными оказываются переходы Ах, А2, BXt В2 —уЕ.
В случае магнитного дипольного излучения Rz принадлежит представлению А2, a Rx и Ry — представлению Е. Для Rz
А2 X Ах== А2 X А2 = ^j, А2 X : ^2>
А2ХВ2 = Въ А2ХЕ = Е,
поэтому разрешенными переходами являются
Ах ч—у А2, Вх ч—у В2, Е ч—у Е.
Для /?у, а также для Рх и Ру разрешенными являются переходы
AXl А2, ^і» В2 +—уЕ.
Задача. Найдите правила отбора для электрических и магнитных ди-польных переходов, если группой симметрии является а) группа D3j,
б) группа О.
Пользуясь результатами, полученными в случае „б“, укажите разрешенные переходы для схемы уровней, приведенной в § 1 настоящей главы.
При вычислении матричных элементов, аналогичных матричным элементам (6.3), мы фактически имеем дело с произведением представлений, состоящим из трех сомножителей. Функция / в (6.3) может пробегать по базисным функциям 0® некоторого неприводимого представления (например, р-представления). Совокупность функций фМ* совпадает во всех рассматриваемых случаях с совокупностью функций поэтому если мы возьмем все произведения, состоя-
щие из трех функций ф^Э^ср^у), то получим какое-то представление,
которое следует обозначить X ^(Р> X D(v). До сих пор наш метод сводился к тому, чтобы установить, содержит ли произведение D(P) Х ?><V>
представление D(w. Но произведение трех представлений можно разлагать в любом порядке. Окончательный результат должен всегда получаться один и тот же. Иначе говоря, мы могли бы сначала взять произведение DX D(v) и посмотреть, содержится ли
206
Глава 6. Физические приложения
в нем представление D(p). (Если подынтегральное выражение состоит из нескольких сомножителей, число их может быть произвольным, то общий метод состоит в том, чтобы взять произведение представлений, отвечающих сомножителям, X X А3> X • • • и посмотреть, содержит ли оно единичное представление.) Например, в случае группы D2d мы образуем произведения, перечисленные в табл. 23.
Таблица 23
Чтобы найти правила отбора для электрического дипольного излучения, мы отыскиваем в разложении произведений представления В2 (матричный элемент Pz) или Е (матричный элемент Рх и Ру). В табл. 23 переходы первого типа заключены в овальные рамки, а переходы второго типа—в прямоугольные рамки.
Разумеется, результаты получаются те же, что и раньше.
Задача. Примените этот метод к нахождению правил отбора для дипольного излучения в случае симметрии, группы Т.
До сих пор мы тщательно следили за тем, чтобы все наши функции были независимыми. Например, когда мы записывали матричные элементы
J dx,
то подразумевали, что v ф ц, или же, если ц- и v-представления были одинаковыми, считали, что функции ф и ф образуют две независимые системы партнеров. Функции ф и ф одинаковы для диаго-
Таблица 24
Q%v Е Сз (2) М3)
Е 2 —1 0
EXE 4 1 0
№ХЩ 3 0 1
{EXE} 1 1 —1
§ 3. Правила отбора
207
нальных матричных элементов оператора /. В этом случае мы должны рассматривать симметризованные кронекеровские произведения, обсуждением которых мы занимались в § 2 гл. 5. Чтобы проиллюстрировать, чем отличаются друг от друга различные типы произведений, возьмем для примера группу Giv. Характеры различных кронекеров-ских произведений приведены в табл. 24. Чтобы продемонстрировать, как мы получаем такую таблицу, рассмотрим элемент С3. Найдем
7. з) = — 1 ’ х(Сз)=-1.
так что
[хХх(С3)] = у[(-1)2-1] =0.
Для элемента av характер
X Ю = 0,
но
7. К) = /.(?) = 2
и, следовательно,
[xXx(M = y[o2+2] = i.
Разлагая произведения на неприводимые представления, имеем
?Х? = Лі + Л2 + ?, [?Х?] = АХ?, {?Х?} = Л2- (6.16)
Наконец, если мы положим |.i = v, а функции ф и ф будут одними и теми же функциями (что будет иметь место в случае диагональных матричных элементов), то все антисимметричные произведения будут тождественно равны нулю и мы получим только симметричные произведения представлений. Например, х и у в группе (?3г, являются партнерами, принадлежащими представлению Е. Взяв произведения х и у, мы не сможем построить базис произведения представлений Е X Е, а вместо этого получим базис для симметричного произведения представлений [?Х?]. Независимыми будут только три произведения: л;2, ху и у2. Ранее при рассмотрении правил
отбора для магнитного дипольного излучения [см. (6.13)] мы обна-
ружили, что два различных состояния, принадлежащих представлению Е, оказались связанными посредством компоненты Rz, принадлежащей представлению А2. Для матричных диагональных элементов дело обстоит иначе. Другими словами, все интегралы
