Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
J ?P'f'VpdT
для функции /, принадлежащей представлению А2, равны нулю, ибо если мы сначала образуем произведения то получим симме-
тричное произведение представлений [Е X ?], которое [см. ниад
208
Глава 6. Физические приложения
(6.17)] не содержит представления А2. Этот результат формулируют и по-другому: единичное представление не содержится в произведении [Е X Е] X А2, хотя оно и содержится в произведении ЕхЕ\А2. Когда функции фиф одинаковы, мы вынуждены пользоваться симметричным произведением [Е X Е]. Раньше мы действовали в ином порядке: взяв сначала произведения /v|№, получали представление ЕХ А2 = Е. (Так как А2 и Е—различные представления, то этот наш шаг был, безусловно, верен.) Затем делалась попытка объединить ЕхА2 — Е с представлением, базисными функциями которого служат ф^1*, в результате чего мы имеем Е X Е= Л, -|- А2~\- Е. Но этот шаг уже неверен, ибо функции, получающиеся от произведения Е X ^2> связаны с базисными функциями пред:тавления Е и результат должен быть симметризован. Проиллюстрируем сказанное на примере группы G3v.
Для первого уровня возьмем функции
^Я)=еіф и —
для второго---
ф(?,' = е_2‘Ф И ф^ — е21Ч
и выберем функцию f = Rz, принадлежащую представлению А2. Если мы будем действовать так же, как и раньше, т. е. рассмотрим переходы между этими двумя уровнями, то подынтегральные выражения наших матричных элементов будут иметь вид
Rze±3l<v и Rze±l<v.
Чтобы получить интеграл, не обращающийся в нуль, мы должны суметь найти какую-нибудь линейную комбинацию этих четырех произведений функций, которая принадлежала бы единичному представлению Л,. Это достигается с помощью антисимметричной комбинации Rz sin Зф. Если же мы возьмем диагональные элементы для первого уровня, то подынтегральные выражения будут равны Rz и Rze±2if, и мы не сможем составить функцию, принадлежащую единичному представлению.
Общий метод нахождения правил отбора для диагональных матричных элементов состоит в том, что строят симметричное произведение \D^W X для каждого неприводимого представления
группы симметрии, после этого смотрят, какие произведения содержат то представление, которому принадлежит /.
Для группы G3v мы находим следующие симметричные произведения:
{А1ХА1]=А1, [А2ХА2] = Аи [?х?] = А+?. (6.17)
Электрический дипольный момент принадлежит представлению Ах-\-Е. Так как представление Ах и (или) представление Е входят каждый
§ 3. Правила отбора
209
раз в правую часть равенств (6.17), мы заключаем, что ни один из диагональных элементов электрического дипольного момента в нуль не обращается. Магнитный дипольный момент принадлежит представлению А2-\-Е. Так как представление А2 и (или) представление Е встречаются только в произведении [Е X Е\, мы приходим к выводу о том, что диагональные элементы магнитного дипольного момента обращаются в нуль для состояний типа Aj и А2.
Пользуясь табл. 19, для группы D2d находим
D2d | Е | С2 | St (2) | С2 (2) | ad(2)
[? X?] | 3 | 3 | —1 | 1 | 1
[А, X А,] = [А2 X А2] = [Вj X В,] = [В2 X В2\ = Аи
ЕХЕ = Аг + Вг+В2. (6Л }
Электрический дипольный момент принадлежит представлению В2-\-Е\ единственным необращающимся в нуль диагональным элементом является диагональный элемент для состояния типа Е. Магнитный дипольный момент принадлежит представлению А2-\-Е', все его диагональные элементы равны нулю.
Задача. Найдите правила отбора для диагональных элементов электрического и магнитного дипольных моментов, если группой симметрии является а) группа D3d\ б) группа О.
Рассмотрим далее правила отбора для электрического квадруполь-ного момента. Тензор второго ранга в трехмерном пространстве
есгь, по определению, любая совокупность девяти величин АЧ
(г, / = 1,2,3), которые при вращениях и отражениях преобразуются как произведение компонент двух независимых векторов. Так, если преобразование координат имеет вид
*!=2e„*t. (6.19)
k
ТО
х'іУ'і=^іаі»а/М (6-2°)
и компоненты тензора второго ранга должны преобразовываться следующим образом:
Aij = 2 аікацАн- (6.21)
к, і
Говорят, что тензор симметричен, если
А^ — Aji.
210
Глава 6. Физические приложения
Симметричный тензор второго ранга в трехмерном пространстве имеет шесть независимых компонент. Типичный симметричный тензор получается из произведений координат х, у, z:
' X2 ху XZ '
ху у2 yz
. xz yz z2 .
Тензор квадрупольного момента симметричен, но обладает еще и дополнительным свойством, состоящим в том, что его след равен нулю, т. е.
Ахх + Ауу + AZZ =
поэтому независимых компонент (сферических функций с 1—2) у него только пять. Чтобы найти правила отбора для электрических квадру-польных переходов, мы должны сначала распределить компоненты соответствующего симметричного тензора по различным неприводимым представлениям группы симметрии.
Так же как в нашем первом примере, мы вновь выберем группу G3v. Поскольку z принадлежит представлению Ах, z2 будет также принадлежать представлению Ах. Произведения zx и zy являются парой партнеров, принадлежащих представлению АхХЕ = Е. Произведения х2, ху, у2 образуют базис симметричного произведения представлений [Е X Е] = Ах -\-Е. Легко видеть, что х2 -|-у2 принадлежит Ах, ах2 — у2 w ху составляют пару партнеров, принадлежащих представлению Е. Итак, компоненты симметричного тензора распределяются по представлениям следующим образом:
