Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
представления группы, состоящей из всех элементов RS (поэтому эти произведения и должны принадлежать одному и тому же вырожденному состоянию), также дают нам некоторое представление подгруппы, состоящей из элементов RR. Но это представление будет приводимым, и вырожденные состояния будут расщепляться за счет взаимодействия. Выберем матрицы представления одинаковыми и для группы О и для группы О, так что Dfu{R) (R). Тогда
°r°r (oR ф<;>) = 2 (Я) (Я)- (6.27)
Мы видим, что (6.27) формально совпадает с произведением представлений, в котором функции ф относятся к одной и той же системе. Чтобы найти те типы состояний полной системы, которые содержатся среди произведений ф^ф^, мы должны (так же, как это
делалось раньше) разложить произведение представлений DXD(V) на неприводимые.
В этом случае мы применяем к конечным группам симметрии тот же метод, который обычно применяют к группе вращений. Если рассматривается группа вращений (т. е. электроны находятся в центральном поле атома, где группой симметрии является полная группа вращений), то отдельные электроны распределяются по моментам
214
Г лава 6. Физические приложения
количества движения (неприводимым представлениям) /ь /2 и т. д. Если имеются члены, описывающие взаимодействие, нам требуется найти, как произведение функций распадается на линейные комбинации, принадлежащие различным значениям полного момента количества движения L (т. е. различным неприводимым представлениям полного гамильтониана).
Рассмотрим, например, электрон в атоме, находящемся в кристалле. Если мы пренебрежем взаимодействием между электронами в атоме и предположим, что поле, создаваемое ионами решетки, велико, то состояния отдельных электронов будут классифицироваться по представлениям группы симметрии поля внутри кристалла. Будем обозначать представления для отдельных электронов малыми буквами а, е, /, а большие сохраним за представлениями всей системы.
Предположим, что группой симметрии является группа G3v. Пусть первый электрон находится в состоянии, принадлежащем представлению а, а второй—в состоянии, принадлежащем представлению е. Состояние всей системы в целом будет в этом случае принадлежать представлению аУ(е=Е. (Эгот результат в какой-то мере аналогичен результату для группы вращений, когда /]=(), так чго L = l2. Однако ясно, что это характерно для всех уровней, принадлежащих одномерным представлениям конечных групп симметрии.) Если оба электрона находятся в состояниях, принадлежащих представлению е, то вся система в целом будет принадлежать представлению е X е = = А1 -)- А2-\- Е. Схема уровней энергии могла бы быть такой, как показано в табл. 25.
Таблица 25 Сильное поле внутри кристалла
Ориентация отдельных Взаимодействие
электронов в кристалле ориентированных
электронов
а,, а2 02; аг
Аг
А,
е, в
А 2
Е
Здесь мы не учитываем тождественность частиц (принцип Паули). Наши результаты остаются справедливыми, если одночастичные состояния, от которых мы отправляемся, не одинаковы для обеих систем.
§ 4. Связанные системы
215
Мы могли бы также попытаться найти для взаимодействующих систем волновые функции, принадлежащие данной строке данного неприводимого представления. Иначе говоря, мы можем задать вопрос: какие линейные комбинации произведений фМф^) определяют Ч^? (К этому сводится задача о нахождении коэффициентов Клебша — Гордана для кристаллографических точечных групп.) Для конечных групп эти вычисления просты (на самом деле мы уже проводили эти вычисления). Напомним, что мы находили произведение любых двух представлений группы симметрии. Затем мы разлагали это произведение и получали те линейные комбинации произведений функций, которые принадлежат различным неприводимым представлениям. Например, для группы Qiv мы получили, что А1\А1=А1. В наших последних обозначениях это произведение запишется в виде aIX«i=^p В терминах базисных функций получим
^[А,) = ф(іа,,ф(іаі)- (6.28)
Точно так же а1Хе = Е, следовательно,
Wf = ф(іаі)ф(Іе) и W(2E) = ф^’ф^. (6.29)
Наконец мы получили соотношение
бХе = Аг-\- А2-\-Е',
для этого мы нашли произведение представлений (6.10) и разложили его на неприводимые компоненты. В наших новых обозначениях этот результат будет выглядеть так:
(*№+«’). (6.30)
= ^ («’-«’). (6.31)
Чг^фМфМ ?^ = ф(Яф!,е). (6.32)
Аналогичным образом для группы Т мы находим нужные линейные комбинации произведений функций, принадлежащие представлению F (стр. 211). Так, мы находим, что
принадлежит представлению Л, и, следовательно,
'Г(Л)=(ф'/'ф^ + W)W) + #фзл). (6.33)
216
Глава 6. Физические приложения
Кроме того, имеем
wp = yL (ф(/>ф(/> -f єф</>ф!/> -f є*ф'/>ф'/>) (6.34)
И
?<*> = (ф'/’ф'/) + е2ф(/)ф(/) -f гЩЩ (6.35)
Так как
fXf=A + E+2F,
то существуют две системы функций (для связанных систем), принадлежащие представлению F. (Такая ситуация не встречается для двух частиц в случае центрального поля; при данных и /2 каждое значение момента количества движения L встречается только один раз. Если же мы имеем больше двух частиц, то возникает та же проблема.) Все, что мы можем сделать, состоит в задании двух систем партнеров, принадлежащих представлению F. В этом случае собственные комбинации нулевого порядка следует находить, решая секулярное уравнение, как мы уже указывали в § 2 настоящей главы. Таким образом, получим;
