Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
= 2 <Vu^<V>R принадлежит H, (7.1)
V
где a^v — целые положительные числа.
Если по крайней мере один элемент класса Kt группы G принадлежит подгруппе И, то из (7.1) мы получаем
Х(/° = 2 = ^ = • • • • (7.2)
v ** V ^
Предположим, что ни один элемент класса К j группы G не принадлежит подгруппе И. Умножая (7.2) на и суммируя по \it находим
2 XW = 0=2 a if фМ (7.3)
Ц H,-V J X
для всех классов Kt группы О, которые содержат по крайней мере один элемент, принадлежащий подгруппе Н, и для всех классов Ki , на которые распадаются элементы, попадающие в подгруппу Н. Но это означает, что для всех классов подгруппы Н
|(2уГ)^ = 0- <7-3а>
Теперь умножим это равенство на h^^jh и просуммируем по k
(т. е. по всем классам подгруппы Н). Из соотношений ортогональности получим
2 а t{fr — 0 для всех р, (7.4)
ИЛИ
2 a Xf =0 для всех р. (7.4а)
Равенство (7.4а) применимо ко всякому классу в группе О, ни один
элемент которого не принадлежит подгруппе Н. Обратимся теперь
к рассмотрению тех классов группы G, у которых по крайней мере
один элемент принадлежит Н. Умножим (7.2) на h фі01’ и просумми-
х х
руем по всем классам подгруппы Н:
h%a = 2 (7.5)
где суммирование распространяется на все классы подгруппы Н. Умножим теперь соотношение (7.5) на gffl* и просуммируем по
hgi 2 a tfT = 2 hi 2 =
ц т т ц
= 2 h ф<0|^6; =g 2 h ф(°Г,
t t 1 К, х Ч
"X
220
Глава 7. Симметрическая группа
где последняя сумма берется по всем классам К1х подгруппы Н, которые возникают из классов Kt группы G. Переходя к комплексносопряженным величинам, получаем
Равенства (7.2), (7.4а) и (7.6) содержат полную формулировку нашей теоремы. Числа a^v в (7.2) были целыми положительными числами, в силу чего левая часть равенства (7.6) есть составной характер группы G. Если нам известен любой простой характер подгруппы Н (т. е. ф(га)), то равенство (7.6) означает, что сумма, стоящая в его
правой части, должна быть составным характером группы G. Более того, равенство (7.4а) означает, что полученный таким способом составной характер будет равен нулю для всех классов группы G, которые не содержат ни одного элемента, принадлежащего подгруппе Н.
Очень важный частный случай равенства (7.6) состоит в следующем. Существует один простой характер, который мы знаем для любой группы, а именно характер единичного представления:
т. е. величины ghjjgfi образуют составной характер группы О.
Равенство (7.7) можно применять к любой подгруппе Н группы G. Чтобы получить h[ и g[t требуется произвести лишь несложный подсчет. Несколько позднее в этой главе мы покажем, как можно воспользоваться равенством (7.7) для получения формулы Фробениуса, которая выражает в замкнутом виде все простые характеры симметрической группы. В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением простого рекуррентного метода, основанного на соотношении (7.6). Мы найдем простые характеры группы Sn, применяя равенство (7.6) к характерам группы Sn_j. Так же как и в § 5 гл. 1, мы будем обозначать через (la2p3v . ..) класс перестановок, имеющих а циклов длины 1, р циклов длины 2, Y ЦИКЛОВ длины 3 и т. д. Для любой группы Sn мы знаем два простых характера: симметричный характер, равный -j-І для всех перестановок, и антисимметричный характер, равный -f-І для четных и —1 для нечетных перестановок (при условии, если только п > 1).
ца)=S vf*=S Фіу-
и К, 1
(7.6)
Х^°)= 1 для всех I.
Полагая ф(а)=1 для всех /т в равенстве (7.6), получаем
(7.7)
§ 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы
221
При /г =1, 2 тривиальные результаты состоят в следующем:
1
(1)
1 1
(I2) (2)
х(1) 1 1
х(2) 1 —1
где число элементов в классе указано рядом с символом разбиения числа. В случае группы 53 нам известна лишь часть таблицы, изображенная здесь:
1 3 2
(F) (2, 1) (3)
зс(1) 1 1 1
х(2) 1 —1 1
х(3)
Разумеется, последний характер легко написать, если воспользоваться соотношениями ортогональности. Воспользуемся, тем не менее, равенством (7.6). Поскольку класс (3) группы S3 не имеет элементов, принадлежащих ее подгруппе 52, его составной характер равен нулю. Начнем с ф(1> (т. е. с характера х(1) в группе S^). В этом случае (7.6) дает нам следующий результат:
I — 6 1 — Ч I _ 6 1 __ 1
МІ*) 2 ' 1 ’ ч2, і) 2 ' 8
Мы получаем составной характер З, 1, 0. Далее,
72?А4,)=1(1'3 + з.і + 2.о)=і,
I
откуда следует, что х(1) входит в % только один раз. Вычитая, получаем характер 2, 0, —1. Этот характер простой, поскольку
-g-[l . 22+3-02+2-(— I)2] = 1.
222
Глава 7. Симметрическая группа
Следовательно, наша таблица для группы S3 имеет вид
1 3 2
(I3) (2, 1) (3)
х(1) I 1 1
зс(2) 1 —1 1
ЗС(3) 2 0 —1
Рассмотрим теперь S3 как подгруппу группы S4. Нам известна следующая часть таблицы характеров группы S4:
1 6 3 8 6
(I4) (2, I2) (22) (3, 1) (4)
Х(1) 1 1 1 1 1
х(2) 1 —1 1 1 —1
Множители ghjgfi, входящие в соотношение (7.6), равны 4, 2, О, 1,0. Возьмем сначала ф(1) (т. е. характер для группы 53) и
получим составной характер ф: 4, 2, 0, 1, 0. В этом случае
= 2Т [1 ' 42+ 6 - 22+3 • 02+8 • 12 + 6 • 02] = 2,
