Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 60

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 180 >> Следующая

| Е | С2(3) С2 (4) (4)
F 1 3 1 —1 0 0
Предположим, что возмущение таково, что полный гамильтониан обладает группой симметрии D2^V. Из приведенной выше таблицы отберем характеры для элементов подгруппы V:
Е Сіх С2 у c2z
F 3 —1 —1
Из соотношения (3.150) и таблицы характеров группы V (см. табл. 14) находим
«А = 7[3 (1) - 1 (1) - 1 (1) - 1 С1)] == °-
ав, = т [З (1) - 1 (-1) - 1 (-1) - 1 (1)] -- 1.
Итак, представление F группы Т содержит представления Вх, В2 и В3 группы V.
Далее, в случае представления F группы Т предположим, что полный гамильтониан обладает группой симметрии (?3. Выпишем ту часть таблицы характеров, которая относится к подгруппе (?3:
F 3 0 0
Пользуясь соотношением (3.150) и таблицей характеров для группы С3, найдем
в„ = 1[3(1) + 0(1) + 0(1)]«=1.
Таким образом, /•’-уровень группы Т расщепляется на А- и С-уровни группы 6*3-
Наконец, предположим, что полный гамильтониан обладает симметрией (?2:
Е С2
F 3 -1
§ 3. Правила отбора
197
Из (3.130) получим
e„ = i[3(l)-l(l)] = l. вя = 1[3(1)-1(-1)] = 2.
Итак, /•’-уровень расщепляется на три невырожденных уровня, один из которых принадлежит представлению А, а два других — представлению В группы G2-
Задача. Рассмотрим систему, обладающую симметрией группы О. Предположим, что на эту систему наложено возмущение, которое понижает ее симметрию до симметрии: а) группы Т, б) группы ?>3, в) группы V с тремя осями 2-го порядка, соединяющими середины противоположных ребер (см. фиг. 35), г) группы V с двумя из трех осей 2-го порядка, соединяющими середины противоположных ребер (см. фиг. 35), д) группы б?4.
В каждом случае найдите, как уровни, принадлежащие представлениям Е, Fx и F2 группы О, расщепляются в результате наложенного возмущения.
§ 3. Правила отбора
В § 1 настоящей главы мы рассмотрели классификацию уровней энергии по неприводимым представлениям группы симметрии невозмущенного гамильтониана. Коль скоро схема уровней получена, мы должны задать себе вопрос, каковы правила отбора для оптических переходов между различными (вырожденными) уровнями, или, в более общем виде, мы должны задать себе вопрос, какие элементы матрицы возмущения V обращаются в нуль.
Если случайного вырождения нет, то собственные функции каждого уровня образуют базис одного из неприводимых представлений группы симметрии. Матричный элемент величины /, соответствующий переходу между состояниями, принадлежащими ц- и v-представлениям группы симметрии, будет иметь вид
fTj = J dx = Mf), (6.3)
где принадлежит ?-й строке ^-представления, a <p^v) принадлежит /-й строке v-представления. Равенство (6.1) означает
J = <j^v)) = 0, если ц ф v или і Ф j. (6.4)
Если в равенстве (6.4) мы выберем в качестве ^-представления единичное представление (в случае единичного представления мы должны взять (1зп1), то функцию можно выбрать равной константе (константа инвариантна относительно всех преобразований
198
Глава 6. Физические приложения
точечной группы и вследствие этого принадлежит единичному представлению). Тогда (6.4) перепишется следующим образом:
J <ptv)dT = 0, если только v^=l. (6.5)
Пользуясь теоремой о разложении (3.193), можно сказать, что для любой функции
J фгіт = J ф(і>гіт=-і- J ^ 0R^dx, (6.6)
R
где ф(1* означает ту часть функции ф, которая принадлежит единичному представлению.
Равенство (6.5) легко вывести независимо для случая, когда v-представление одномерно. Интеграл от функции ф по всему пространству не изменится, если мы преобразуем функцию ф в Одф, где R— любое вращение или отражение. Таким образом, для всех R, принадлежащих группе О,
J ф dx — J О^ф dx.
Для одномерного представления 0Лф=ггф, где г—некоторый числовой множитель, откуда следует, что
J фйт= г J ф dt = 0,
если только г не равно 1 для всех R. Следовательно,
J фМ йт = О,
если только v 1. Обобщение последнего доказательства на случай представлений большей размерности утомительно, в то время как доказательство, приведенное выше, носит весьма общий характер.
Теперь мы можем результат (6.1) сформулировать еще и следующим образом: произведение фМ*<р(у> содержит часть, остающуюся инвариантной относительно всех операций группы G тогда и только тогда, когда n = v, i — j. Что касается интеграла (6.3), то можно сказать, что /^J = 0, если только /<p^v> не содержит функции, принадлежащей /-й строке ^-представления. Если функция / является скаляром, то она принадлежит единичному представлению. Если мы рассматриваем дипольный момент системы, то / имеет три компоненты и т. д. Во всяком случае, функция (или функции) /, фигурирующая
§ 3. Правила отбора
199
в интеграле (6.3), является базисной функцией (базисными функциями) одного или нескольких неприводимых представлений группы G. Предположим, что / пробегает систему функций 0fcP), образующих базис р-представления группы G. В этом случае переход между ц- и v-уровнями будет запрещен лишь при условии, что ни одно из произведений О^у?) или ни одна линейная комбинация таких
R J
произведений не принадлежит (х-представлению. Если ^-представление не содержится в произведении представлений D(p* и D^\ то соответствующий переход запрещен.
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed