Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Щр = ф'/’ф^1, или ф^'ф^\
\y(F) ф!^Н)У>, или Ф(/'Фа^. (6.36)
Wp = ф(/>фШ „ли ф</>ф(/>.
Задача. Рассмотрите для группы симметрии D2a все комбинации индивидуальных состояний двух частиц. Выразите собственные функции состояний связанных систем через волновые функции отдельных частиц.
ГЛАВА 7
СИММЕТРИЧЕСКАЯ ГРУППА
Симметрическая группа $п — группа всех перестановок п символов— имеет фундаментальное значение как для математики, так и для физики. Для математика решение задачи о нахождении неприводимых представлений группы Sn является одним из классических примеров использования алгебраических методов. Несмотря на все усилия, которые были затрачены на исследование групп перестановок, их и поныне можно еще использовать как средство для получения новых замечательных комбинаторных формул. Разбиение тензоров на классы неприводимых тензоров относительно любой группы линейных преобразований в случае п измерений проводится легко, коль скоро известны представления симметрических групп. В физике, если мы рассматриваем систему, состоящую из п тождественных частиц, группа симметрии гамильтониана такой системы будет содержать группу S,t. Классификация атомных и ядерных состояний существенно зависит от свойств группы S„.
В данной главе мы найдем характеры и матрицы неприводимых представлений группы S„. К этой задаче мы будем подходить, используя несколько различных методов. Некоторые из них отличаются чрезвычайной мощностью (и выглядят очень „учено"!), другие же изобретены физиками и используются ими вместо хорошо известных математических методов.
§ 1. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы
В § 5 гл. 3 мы указывали, чго если нам удается найти простые характеры для инвариантной подгруппы группы G, то мы можем сразу же вывести и некоторые простые характеры самой группы О. Однако этот результат не особенно нам полезен. При п > 4 симметрическая группа Sn имеет только одну инвариантную подгруппу: знакопеременную группу uln индекса два. Из двух одномерных представлений фактор-группы Sn/utn мы выводим два очевидных одно* Мерных представления Sn: единичное (симметричное) представление с характером (матрицей), равным единице для всех элементов группы S„, и антисимметричное представление с характером, равным -|-1 для
218
Г лава 7. Симметрическая группа
четных и —1 для нечетных перестановок. Все другие неприводимые представления являются точными. Нам требуется установить некоторую связь между простыми характерами группы О и простыми характерами любой из ее подгрупп. Эгу цель можно достичь с помощью теоремы Фробениуса, к выводу которой мы теперь и приступаем.
Пусть группа G порядка g имеет какую-то подгруппу Н порядка h. Предположим, что нам задано некоторое представление D(G) группы G. Выбрав из матриц D{G) те, которые соответствуют элементам подгруппы Н, мы тотчас же получаем представление подгруппы Н. Представление подгруппы Н, которое мы получим таким способом [будем называть его D'{Н)\, может оказаться приводимым, даже если представление D(G) является неприводимым представлением группы G. Иными словами, даже в том случае, когда мы не сумеем найти подмножества векторов базиса представления D (G), которое оставалось бы инвариантным относительно всех преобразований D (G), мы, быть может, сумеем найти такое их подмножество, которое окажется инвариантным относительно части этих преобразований D' (Н). (Такое превращение неприводимого представления в приводимое при понижении симметрии, т. е. при переходе к подгруппе первоначальной группы симметрии, и послужило основой для применения теории групп к задачам теории возмущений в гл. 6.)
Постаои і теперь вопрос, обратный вопросу предыдущего абзаца. Может случиться так, что найти неприводимые представления для подгруппы И окажгтся легче, чем для группы G (поскольку порядок подгруппы Н меньше порядка группы G). Можно ли вывести характеры группы О из характеров ее подгруппы Н?
Разобьем элементы группы G на классы К і; число элементов в классе Kt равно gt. Обозначим простые характеры группы О через а соответствующие представления—через D^\G). Далее, два элемента подгруппы Н, которые первоначально находились в одном и том же классе Kt в группе G, могут не принадлежать одному и тому же классу в группе Н, поскольку элемент, который осуществляет преобразование, может не принадлежать подгруппе Н\ следовательно, некоторые элементы в классе K-t в группе G не принадлежат подгруппе Н. С другой стороны, два элемента, которые оказываются в одном и том же классе в подгруппе Н, непременно принадлежат одному и тому же классу в группе G. При образовании подгруппы Н из группы G было выбрано только ht элементов из общего числа их gt\ ht из этих элементов принадлежит классу Kt, hi2—классу Kit и т. д. в подгруппе Н, Обозначим простые характеры группы Н символами ф^), а соответствующие представления —
символами Д<Ц)(Я). Ранее мы уже видели, что если исходить из D<rt(G) и рассматривать только элементы R, входящие в подгруппу Н, то
§ I. Вывод характеров группы из характеров ее подгруппы
219
получится некоторое представление (вообще говоря, приводимое) подгруппы Н:
