Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
\ 1
Ах\ \ і л I’ ^2’ ни одной компоненты;
v Ахх~Г Ауу )
Е. Ayz, AXZ’ АХХ~ АУУ’ Ах у
След тензора квадрупольного момента равен нулю, т. е.
АХХ “Ь Ауу “Ь AZZ == 0-
Но поскольку компоненты Azz и А хх -)- Ауу независимо принадлежат представлению Alt то на результате это не скажется. Чтобы найти правила отбора для квадрупольных переходов, мы должны знать, содержатся ли представления Ах и (или) Е в произведении DX ?>(v). Если речь идет о диагональных элементах, то нужно уметь отвечать на этот же вопрос и для симметричного произведения X Для группы G3v имеем
А\ X Ai= Ai> Ai X А2== А2> X Е = Е,
А2Ха 2 = ai> А2ХЕ = Е, (6.23)
Е X Е = А^ -)- А2 -)- Е.
§ 3. Правила отбора
211
Мы отыскиваем представления А1 и (или) Е в правой части равенств (6.23) и обнаруживаем, что электрические квадрупольные переходы Аг+-+А2 запрещены. Точно так же для диагональных элементов мы образуем симметричные произведения
1А1ХА1] = А1, [А2 X A2] = Alt [ЕХЕ] = Аї + Е (6.24)
и обнаруживаем, что ни один из диагональных элементов в нуль не обращается.
Далее мы рассмотрим группу D2d. Так как z принадлежит представлению В2, то z2 принадлежит В2Х В2 = Л,. Функции zx и zy являются партнерами, принадлежащими представлению В2Х Е = Е. Функции х2, ху и у2 принадлежат симметричному произведению
Легко указать, к каким представлениям относятся те или иные функции: х2-\-у2 принадлежит Аг, ху принадлежит В2, х2 — у2 принадлежит Вх. Таким образом, компоненты тензора распределяются по представлениям следующим образом:
Условие равенства нулю следа тензора и в этом случае не влияет на наши результаты. Для переходов, которые должны происходить между уровнями, принадлежащими ц,- и v-представлениям, произве-
ставлений Л,, Blt В2 или Е. Из табл. 23 видно, что переходы А1*-^А2, В1+-+В2 запрещены. Из (6.18) вытекает, что вследствие симметрии диагональные элементы должны обращаться в нуль.
Больший интерес представляет группа Т. Здесь х, у, z—партнеры, принадлежащие представлению F. Произведение [/•'’ X F] имеет характеры, равные 6, 2, 0, 0, так что [Z7 X F] = А -\-E-\-F. Выписывая матрицы произведения [^Х Z7], мы могли бы найти функции, принадлежащие различным неприводимым представлениям, но эти же функции можно легко получить, заметив следующее. Мы ВИДИМ, ЧТО X2 -[- У2-)- Z2 принадлежит представлению А, х2 -|- еу2 -j- e2z2 и х2 -f- є2у2 -f- ez2 принадлежит E, a xy, xz и yz принадлежит F. Поэтому компоненты тензора квадрупольного момента по представлениям распределяются следующим образом:
[Е X — Аг -f- Вг -f- В2.
А2: компонент нет;
В\- Ахх Ауу, В2. Аху, Е: Axz, Ayz.
дение D<|г) X Dw должно содержать по крайней мере одно из пред-
А: Ахх -f- Ауу + Azz, Е:
Ахх -(- &Ауу -(- e2Azz Ахх -J- е2Ауу -|- &Агг
212
Г лава 6. Физические приложений.
След тензора квадрупольного момента равен нулю; на сей раз это обстоятельство имеет значение: функция, которую мы приписали представлению А, на самом деле равна нулю. Поэтому при нахождении правил отбора мы должны отыскивать в произведении представлений представления Е и (или) F (но не А). Имеем
аха = а, ахе = е, ax.f=f,
ЕХЕ = ЕХ^А, Е X Е = 2F, (6.25)
F X F = A-\~E-\~2F.
Запрещены переходы
Для диагональных элементов получаем
1АХА]=А, [ЕХЕ]=А+Е, [Z7 X F] = АЕ-\~ F, (6.26) вследствие чего диагональный элемент для состояния типа А равен нулю.
Задача. Найдите правила отбора для квадрупольных переходов, если
группой симметрии является а) группа D3^; б) группа О.
Применявшиеся нами методы можно обобщить и на случай тензоров более высокого ранга. Мы еще вернемся к этой задаче позднее, после того как рассмотрим группы вращений.
§ 4. Связанные системы
Развитые нами соображения о произведении представлений можно применять также и к связанным системам. Начнем с двух независимых систем с радиусами-векторами гиг соответственно. Гамильтонианы обеих систем записываются в одном и том же виде и инвариантны относительно одной и той же группы. Если мы будем рассматривать какой-нибудь оператор, принадлежащий группе симметрии, и окажется, что этот оператор действует на координаты первой системы, мы будем обозначать его 0R (оператор принадлежит группе О), если же оператор действует на координаты второй системы, мы будем обозначать его О^ (принадлежит группе О). Элементы R и R будут обозначать одно и то же геометрическое преобразование, применяемое к системам 1 и 2 соответственно. Если мы рассматриваем отдельно систему 1, то ее состояния можно классифицировать по ее группе симметрии. Ее волновые функции мы будем обозначать ф^. Аналогично волновые функции системы 2 мы обозначим фМ. Если системы не связаны, то полная энергия равна сумме энергий отдельных систем, а гамильтониан Н = Нг -|- Н2 остается инвариантным относительно всех операций 0R О^ . (Эти произведения элементов группы О и эле-
§ 4. Связанные системы
213
ментов группы О образуют группу—прямое произведение групп
О X О. Следует обратить внимание на то, что оператор R действует на координаты первой системы, а оператор 5 действует только на координаты второй системы.) Если же теперь эти системы будут связаны друг с другом, мы добавим к гамильтониану члены, зависящие от расстояния между этими двумя системами. Такие операторы, как , не оставляют этот член, учитывающий взаимодействие, инва-риантным, за исключением того случая, когда S = R, т. е. кргда обе системы подчинены одной и той же операции симметрии. Таким образом, при наличии взаимодействия группа симметрии полного гамильтониана состоит из произведений вида 0R0R, где R и R—одна и та же геометрическая операция, применяемая к координатам систем 1 и 2 соответственно. (Эта группа изоморфна группе О, состоящей из элементов R.) Предположим, что не связанные между собой системы находятся в состояниях с собственными функциями И l|^v). Включение взаимодействия снижает группу симметрии от совокупности всех операций 0R0^~ до некоторой подгруппы операций 0R0R_ Таким образом, наша задача схожа с задачами о возмущениях, рассмотренными в § 2 настоящей главы, где возмущение приводило к ограничению группы симметрии до одной из ее подгрупп. Произведения волновых функций образующие базис неприводимого
