Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
PxQy PyQx принадлежит представлению А2;
Р xQx~*r PyQy
есть скалярное произведение полярных векторов Р и Q (компонента z инвариантна относительно всех операций группы G3v) и, следова-
тельно, является инвариантом (скаляром). Величина PxQy — PyQx является z-компонентой векторного произведения Р X Q. Векторное произведение преобразуется как радиус-вектор при вращениях, но не меняет знака при инверсии. Величины такого типа называются аксиальными векторами. Мы можем сказать, таким образом, что z-компонента любого аксиального вектора принадлежит представлению А2 группы G3v.
По таблице характеров мы замечаем, что z (а следовательно,
и Р2) принадлежит представлению АХ. Произведение представлений А1У(Е = Е, поэтому типичными партнерами, принадлежащими произведению АгХЕ, будут +z (либо +PZ, либо ±QZ), умноженные на х и у (либо на Рх, Ру, либо на Qx, Qy). В результате мы обнаружим, что xz, yz принадлежат представлению Е, то же относится и к
Р\Рz> Р уРг' Р xQz' PyQz>
Р zQx PxQz. PyQz PzQy
Следовательно, x- и у-компоненты векторного произведения Р X Q принадлежат представлению Е так же, как и х- и у-компоненты любого аксиального вектора. Часто аксиальный вектор обозначают символом R (R—означает вращение—типичный аксиальный вектор),
§ 3. Правила отбора
203
В таблице характеров мы будем относить компоненту Rz к представлению А2, в то время как компоненты Rx и Ry будут принадлежать представлению Е.
Рассмотрим теперь правила отбора в случае той же самой группы симметрии G3v. Матричные элементы задаются интегралами (6.3). Если f = (x, у, z), мы получим правила отбора для электрического дипольного излучения. Рассмотрим интегралы
J i(;f>*f(p(y> dx, (6.11)
где I пробегает значения от 1 до п a j—от 1 до nv. Переход будет запрещен (для электрического дипольного излучения) лишь при условии, если все эти интегралы обращаются в нуль. Далее мы сделаем следующее. Из таблицы нам известно, что z принадлежит представлению Ах группы Q3v. Поэтому система функций zq?y'>(J= 1...пv)
образует базис произведения Аг X Если Ах X не со-
держит D^\ то все интегралы (6.11) обращаются в нуль. Аналогично, х и у принадлежат представлению Е, поэтому системы функций х(р{У\ (у = 1........образуют базис представления ? X
Если Е X не содержит D ^, то все эти интегралы (матричные элементы х и у) обращаются в нуль. Следовательно, переход между уровнем, принадлежащим представлению Dи уровнем, принадлежащим представлению будет запрещен (для электрического ди-
польного излучения), если ни А} X D{v\ ни ? X D(v* не содержат представления D^\ Из таблицы (6.7) найдем
А1 X А1 = А1, Л] X А2 = А2, AxXE = E,
ехА=е, еха2=е, ехе=а1-\-а2+е. (6Л2)
Переходы А1 А2 запрещены.
Магнитный дипольный момент является аксиальным вектором, поэтому магнитные дипольные переходы будут запрещены, если ни A2XDv), ни EXD(v) не содержат представления D^K Из (6.7) имеем А2 X == ^2> A2XA2 = Alt А2ХЕ = Е,
ЕХА = Е, ЕХА2 = Е, ЕХЕ=.Аг + А2 + Е. (6ЛЗ)
Поскольку пары Ах >Аи А2+-+А2 не встречаются, магнитные дипольные переходы между двумя состояниями, принадлежащими представлению Ах (или А2), запрещены.
Следует отметить, что в случае, когда группой симметрии служит группа чистых вращений, нет никакого различия между аксиальными и полярными векторами, и правила отбора для электрического и магнитного дипольных излучений совпадают.
204
Г лава 6. Физические приложения
В качестве второго примера найдем правила отбора для электрического (и магнитного) дипольного излучения для системы с симметрией Т. Все компоненты вектора принадлежат представлению F (см. табл. 21). Поэтому мы составляем произведение представлений F X A, FXE, F X F и, пользуясь соотношением (5.15), вычисляем характеры:
т Е С2 (3) ?¦3 (4) с! (4)
FX А 3 —1 0 0
FXE ( 3 —1 0 0
\ з —1 0 0
FXF 9 —1 0 0
С помощью этой таблицы характеров и соотношения (3.150) получим FXA = F, FXE=2F, FX F = A + E+2F. (6.14) Следовательно, запрещенными являются переходы A-*r-*E, А-*->А, Е *-+Е.
В качестве последнего примера рассмотрим группу симметрии D2d. Из таблицы характеров мы видим, что Рх и Ру являются партнерами, принадлежащими представлению Е, a Pz принадлежит представлению В2. Произведения компонент полярных векторов такие, как PxQz, PyQz- либо PZQX, РZQу, либо PZQX — PXQZ, PyQz — PzQy, образуют пары партнеров, принадлежащих представлению Е X В2=Е. Итак, для любого аксиального вектора компоненты Rx и Ry образуют пару партнеров, принадлежащих представлению Е. С другой стороны, компонента Rz принадлежит представлению А2. (Это можно усмотреть из геометрических соображений с помощью методов гл. 2. Рассмотрим какое-нибудь вращение вокруг оси z. Что произойдет с этим вращением, если мы сначала произведем поворот на 180° вокруг некоторой горизонтальной оси или же совершим отражение в какой-нибудь вертикальной плоскости? Другой метод, который надлежит испробовать читателю, состоит в разложении матриц представления EXE на неприводимые компоненты, что было продемонстрировано нами на примере группы б?3гг)
Чтобы найти правила отбора для электрического дипольного излучения, мы должны определить, какие представления содержатся в произведениях представлений В2иЕ со всеми представлениями группы D2d:
