Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
циенты являются линейными комбинациями функций ф|^. Теорема Фробениуса утверждает, что величины в (7.24) представляют
собой в точности простые характеры группы Sn.
Мы приведем много примеров, поясняющих смысл соотношения (7.24), но сначала мы изложим доказательство этой теоремы.
Величины х{ц будут простыми характерами, если [см. (3.152)]
2еМГ = И. <7.25)
где g—порядок группы Sn, a gщ — число элементов в классе (/).
§ 2. Формула Фробениуса
233
Так же как мы вводили переменные xt, введем теперь второй набор переменных yL и положим, по определению,
*r = 2 tf.
і
t(l)=fttM • для (Z) = (le, 2Р, 3V, . . .). Образуем сумму
(7.18а)
(7.19а)
V *<о
(!)
g
Sa) hi)-
Пользуясь соотношениями (7.12), (7.19) и (7.19а), получаем
Viw. t = V _I ^ iaai
(l) a, |3, ...
a + 2(3+ ... -л
a„| (•Ml) 2Pp! (52^>)
(7.26)
Просуммируем теперь по л от 0 до со:
S(i)
По всем разбиениям всех п
27)
Подставим выражения (7.18) и (7.18а) для sr и fr:
т т
со со 2 2 Уу m со , чг
Ss,^r у 1 І у V ^ ^
г —Zj г — Zj -J г ~
г, ; = i r-і
Г=1
г-1
- In(1 — л:гу;) = — In Д(1 — xtyj). (7.28) ]-1 і, 1-і
Итак, правая часть равенства (7.27) равна
1
П С1 - V;) ;-1
Докажем теперь, что
П 0-Vy)
г, y*»i
1 — х у
г-'s
(7.29)
где D—определитель, заданный (7.23), а 11/(1—xrys) |—определитель, rs-элемент которого равен 1/(1 —xrys). Этот определитель
234
Глава 7. Симметрическая группа
имеет вид
(1— лгіУі) 1 (1— хгу2) 1 (1— хгу3) 1
(1 —*2^) 1 (1 ~Х2у2) 1
(1 — х2у3)
-1
(1 — ХзУО 1
(7.30)
Вычитая из г'-й строки первую, получаем
(1 - ^гУ/Г1 — С1 — =
У}
XJj
- х.у . 1
МнОЖИТ*ЛЬ (xt — ATj) является общим для всех элементов г'-й строки, множитель (1—хху})—общим для всех элементов /-го столбца. Вынося эти множители, находим
(*2 — *l) (*3 — Xi) . . . (Xm — ХХ)
По
у-1
1
У\
1
Уі
1
1 — х2ух 1 — х2у2 У\ _________________Ъ
1— хъух \—хъу2
Вычтем теперь первый столбец из остальных:
___У) Уі _ У>~Ух
1-
¦ хіУ]
1-Vi
1 —
Vi 1~хіУ,
Множитель (yj — у!) вновь оказывается общим для всех элементов /-го столбца, а множитель (1—Х[Ух)—для всех элементов /-й строки, поэтому определитель можно представить в виде
(х2 — Xi) ... (xm — Xj) (у2 — Уі) ... (ym — Уі)
По
Vi)
J : — ‘t
X
X
1
У\
1 — x2yx У\
1 X2y2 1
0
1
1 х2У з 1
\—хъух \ — хъу2 \ — хъуъ
§ 2. Формула Фробениуса
235
1
l~xiy] i,j-i.ш
_ (*2~ *l) ¦¦¦ (хт — xt) (у 2— Уі) ••• (у я
т т
По-здПс1-^)
У-I /-2
-Уі)
1-*,Уу
г, У-2, m
(7.31)
Повторяя этот процесс по индукции, получаем формулу (7.29). Умножив обе части равенства (7.27) на D(x{) D(yj) и воспользовавшись соотношением (7.29), найдем
Но
поэтому
№, л-1
1
1 —ХіУі
(l — Xtyj) 1= Їхїїї
¦ хіУ j
v=0
Ц 2 «,*№№¦•¦*>)’>¦ (7 32)
1 2 т
V,. •••, v„ -1 Я
Все показатели v должны быть различными, поскольку эта функция меняет знак при любой перестановке двух переменных. Индексы можно расположить в порядке убывания; 2 означает сумму по всем пере-
р
становкам переменных х и у, а 6Р равно —f— 1, если перестановки х и у имеют одинаковую четность, и —4 в противном случае. Поскольку показатели v теперь расположены в убывающем порядке, мы можем положить \і = Х1-\-т — і и получить следующее выражение:
Е Цг V0 Ы KlP (?i) = S S 6я4,, + т"1>’і"1 +m_1 • • • ifr ¦
(X.) я
(7.33)
Подставляя сюда выражение (7.24) и аналогичное выражение для у
и сравнивая коэффициенты при одночленах, содержащих хг.................хт,
Уі......ут, находим
Sji) g
(7.25а)
Ф
№
236
Глава 7. Симметрическая группе
это и доказывает, что формула (7.24) даег нам независимые простые характеры. Равенство (7.25) оставляет еще одну возможность: величина можег отличаться от простого характера знаком, но при использовании наших результатов мы покажем, что знак выбран правильно.
Формула (7.24) выглядит весьма сложной (такова она и на самом деле!), и поэтому мы, исходл из нее, разрабатываем методы, более удобные в работе.
§ 3. Графические методы. Решеточные перестановки.
Схемы Юнга. Таблицы Юнга
Прежде всего рассмотрим единичный элемент группы Sn, т. е. класс (/) = (1л). В этом случае левая часть равенства (7.24) равна просто
?>(*;) (2
Возьмем сначала D(xt) и умножим последовательно п раз на 2-*:/-Поскольку произведение на каждом этапе является знакопеременной функцией, любой одночлен, имеющий два равных показателя степени, должен входить в это произведение с нулевым коэффициентом. Таким образом, будет коэффициентом в (7.24) при члене
В качестве исходной мы выбрали функцию
D{xi)= 26рРх?~1Х2~2 • • • Х,п- 1Х°,п-р
Если умножить ее на 2 xt, то один из показателей степени увеличится на единицу. Но если на каком бы то ни было этапе вычислений два показателя становятся равными, соответствующий член должен обратиться в нуль. Поэтому ясно, что, поскольку на каждом этапе мы увеличиваем степень полинома на единицу, мы всегда должны увеличивать степень переменной Xi по крайней мере столь же быстро, как и степень переменной х2 и т. д. Наша конечная цель состоит в том, чтобы увеличить степень х1 на степень хг на Xt. В процессе выполнения этой задачи (каждый раз мы увеличиваем показатель степени только у одной переменной) мы должны быть уверенными в том, что число операций умножения, произведенных над больше числа операций умножения, произведенных над х2, или равно ему и т. д. Общее число способов, которыми можно достичь нашей цели, равно X(i")> т- е- размерности представления (Я,).
