Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно, ф содержит два простых характера, каждый из которых входит по одному разу. Составной характер ф содержит характер х(1) с коэффициентом, равным 1, поскольку
2 —-4+6. 2 + 3-0+8. 1+6.01=1.
Вычитая х(1). получаем характер х(4); З, 1, —1, 0, —1. Это простой характер, так как
,32 + 6,і2 + 3(-і)2 + 8.о2+б(-і)2]=:і.
Возьмем, далее, ф,2) (т. е. х,2) Для группы S3) и получим характер ф: 4, —2, 0, 1,0. В этот составной характер х(2) входит один раз, поскольку
2^Фрс!2) = ^-[Ь4.1 + 6(-2)(-1) + 3.0.1 +
+ 8.1- 1 + 6-0-(—1)] = 1.
§ 1. Вывод характеров группы из характеров ев подгруппы
223
Вычитая х(2). получаем простой характер х,5); 3, —1, —1, 0, 1. Наконец, возьмем ф'3> (т. е. х(3) Для группы 53) и получим ф: 8, О, О,
— 1, 0. Проделав вычисления, найдем
2т^=і[Ь82+8(-1)2]
з,
в силу чего характер ф есть сумма трех различных простых характеров. Полученный ранее характер х,4) в характер ф входит один раз, так как
~ — ~24^ • 8 • 3 —j— 0 —)— 0 —)— 0] = 1.
Аналогично, х(5) входит в ф только один раз. Вычитая х,4) и х,5) из ф, получаем характер х,3); 2, 0, 2, —1, 0, который является простым характером, поскольку
S Ц- $3))2=м[ 1 •22+3 • (2)2+8 • (-1)2]=1 •
Мы получили полную таблицу характеров группы S4 (табл. 26).
Таблица 26
1 6 3 8 6
С • (I4) (2, I2) (2*) (3, 1) (4)
г>4. х(1) 1 1 1 1 1
г{2) 1 —1 1 1 —1
г{3) 2 0 2 -1 0
x(i) 3 1 —1 0 —1
Х(ь) 3 —1 —1 0 1
Применим теперь этот же метод к группе S5, рассматривая группу S4 как ее подгруппу. Относительно группы S5 мы располагаем следующей информацией:
1 10 15 20 20 30 24
(I5) (2, Р) (22, 1) (3, I2) (3, 2) (4, 1) (5)
1 1 1 1 1 1 1
ЗС(2) 1 —1 1 1 —1 —1 1
Множители ghjgth в равенстве (7.6) равны 5, З, 1, 2, 0, 1, 0. Характер ф(І) группы S4 приводит к тому же набору чисел, что и составной характер ф группы S5, а именно:
^-~М= Ш Ч '52+ Ю-32+15 • 12 + 20-22 + 30- I2] = 2:
224
Глава 7. Симметрическая группа
и поэтому ф содержит два различных простых характера. Характер ф содержит поскольку
вычитая х(1), мы получаем простой характер х(3): 4, 2, 0, 1, —1,0, —1. Аналогичным образом мы находим из ф(2) простой характер х,4); 4, —2, 0, 1, 1, 0, —1.
Исходя из ф(3), ф(4), ф(5> соответственно, мы образуем составные характеры:
10, 0, 2, —2, 0, 0, 0: =
15, З, —1, 0, 0, —1, 0: 5j'f"^2==3,
15, —З, —1, 0, 0, 1, 0: У-^-ф2 = 3.
&
Характер х,3) входит во второй характер только один раз; точно так же Х,4) входит в третий характер только один раз. Вычитая эти характеры и получаем составные характеры:
Х(5)+Х(6): 10, 0, 2, —2, 0, 0, 0,
Х(5) + Х(7); 11. 1. — 1. — і, і. — 1. 1.
х(6) -Ьх(7): 11, —1. —1. —1. —1. 1. 1.
каждый из которых содержит два простых характера. Из последних
двух характеров находим
Х(5)_Х(6): о, 2, 0, 0, 2, —2, 0,
комбинируя с первым характером, получаем
Х(5): 5, 1, 1, -1, 1, -1, 0,
Х(6): 5, —1, 1, —1, —1, 1, 0.
Затем мы находим
Х(7): 6, 0, —2, 0, 0, 0, 1.
Полная таблица характеров приведена в табл. 27.
В случае S6 решение задачи становится громоздким. Наши трудности на самом деле проистекают из того факта, что мы использовали только подгруппу 5Л_! группы Sn. В последующих параграфах
§ 2. Формула Фробениуса
225
7 аблица 27
1 (Is) 10 (2, 1») 15 (22, 1) 20 20 (3, I2) (3, 2) 30 (4, 1) 24 (5)
х(1) 1 1 1 1 1 1 1
х(ї) 1 —I I 1 —I —I 1
х(3) 4 2 0 1 —I 0 -1
я(4) 4 —2 0 I 1 0 -1
х(5) 5 1 1 —1 1 —1 0
Х№ 5 —1 1 —1 —1 1 0
Х(7) 6 0 —2 0 0 0 1
мы покажем, каким образом общую задачу можно свести к задаче, решение которой осуществляется по раз и навсегда установленному алгоритму.
Задача. Воспользуйтесь методом, изложенным в этом параграфе, для получения таблицы характеров группы S6.
§ 2. Формула Фробениуса для характеров симметрической группы
В § 1 настоящей главы мы получили следующий результат.
Дана группа О порядка g, имеющая gt элементов в классе Kt. Если некоторая подгруппа Н группы О имеет порядок h и содержит ht элементов из класса K[t то совокупность чисел
С=4т (7Ja)
& in
образует составной характер группы О.
В этом параграфе мы покажем, как, исходя из (7.7), можно полностью решить задачу о нахождении неприводимых представлений симметрической группы. Идея решения (также принадлежащая Фро-бениусу) состоит в следующем. Равенство (7.7) задает характер Для каждой выбранной нами подгруппы Н группы G (=S„). Рассмотрим любое разбиение (Я,) = (А.,, к2.hn) числа ti
^1 + ^2+ ••• — п< (7-8)
••• >я.л = 0. (7.8а)
В соответствии с разбиением (Я.) можно построить некоторую подгруппу группы О. Разобьем символы 1, ti на отдельные классы
226
Ґлава 7. Симметрическая группа
в соответствии с указанным разбиением (Я.); первый класс будет содержать Я-! СИМВОЛОВ, второй класс —^2 символов и т. д. (выбор символов внутри каждого класса несуществен). Построим теперь симметрическую группу из символов первого класса и назовем ее Qir То же проделаем для каждого из остальных классов. Возьмем, далее, прямое произведение всех полученных групп (напомним, что они не имеют общих символов). Это прямое произведение имеет вид
Ow = Oxl XOh х ... ХО), (7.9)
