Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 58

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 180 >> Следующая

ние D(;> в комплексно сопряженное:
(5.154)
(5.154а)
(5.155)
и
(5.155а)
Равенство (5.151) сводится к равенству
(5.156)
ГЛАВА б
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Классификация уровней энергии
Мы уже в некоторых случаях отмечали связь между представлениями групп и квантовомеханическими задачами. Если мы изучаем какую-нибудь атомную систему, то мы прежде всего должны найти группу симметрии ее гамильтониана, т, е. совокупность преобразований, которые оставляют этот гамильтониан инвариантным. Наличие у системы группы симметрии обусловливает возможность вырождения. Если ф — собственная функция, соответствующая энергии є, то функция Одф также будет принадлежать энергии г (R — произвольный элемент группы симметрии G). Этот уровень энергии оказывается вырожденным, если при всех R. Собственные функции,
принадлежащие данной энергии є, образуют базис некоторого представления группы G, В большинстве случаев это представление будет неприводимым. Только в редких случаях при весьма специальном выборе параметров мы получим „случайное” вырождение, при котором системы функций, принадлежащие различным неприводимым представлениям, будут отвечать одной и той же энергии. Ясно, что партнеры, образующие базис для одного из неприводимых представлений группы G, должны, соответствовать одному и тому же значению энергии, поскольку операции группы симметрии преобразуют их друг в друга. Но каждая из двух различных систем партнеров и ф(/*. даже если они служат базисами одного и того же неприводимого представления группы G(ju, = v), в результате преобразований переходят снова только в себя, и из соображений симметрии отнюдь не следует, что они соответствуют одному и тому же значению энергии.
Поэтому мы можем предположить, что в общем случае совокупность собственных функций, принадлежащих данной энергии є, является совокупностью партнеров и образует базис одного из неприводимых представлений группы симметрии. Уже одно это многое говорит нам о той степени вырождения, которую следует ожидать. Например, если мы рассматриваем систему, обладающую группой симметрии О, то из таблицы характеров (см. табл. 22) можно увидеть, что уровни энергии этой системы могут быть только одно-, дву- и трехкратно вырожденными. Однократно вырожденные уровни будут двух типов в зависимости от того, принадлежат ли они представлениям Ах или А2.
192
Глава 6. Физические приложения
Собственные функции простых уровней этих двух типов отличаются своим поведением при операциях С4 и С2. Все двукратно вырожденные уровни будут одного типа и принадлежат двумерному представлению Е. Наконец, трехкратно вырожденные уровни могут быть двух различных типов, соответствующих представлениям и F2. Если отвлечься от возможности случайного вырождения, то перечисленные типы являются единственно возможными типами уровней. Хотя обозначения, которыми мы будем пользоваться, могут показаться странными (на самом деле мы делаем в точности то же самое, что делается в обычных квантовомеханических рассмотрениях), мы будем каждой собственной функции ф/^ приписывать два квантовых числа |а и /, чтобы описать ее поведение при операциях, принадлежащих точечной группе симметрии. Точно так же, как мы увидим позднее, когда группой симметрии будет служить полная группа вращений, мы будем приписывать функции квантовые числа I и т, чтоб^і охарактеризовать ее поведение при вращении и инверсии (функция считается соответствующей m-й строке 1-го неприводимого представления).
Итак, для системы с симметрией О может оказаться типичной следующая схема уровней:
(Е) (?) Ч>\ ,Ч>1 •
г,; ,(F,) ,(F,) .(Fj) Фі ,Фг ,Фз ' ¦
А 2; і (А і) Ф, .
А,;
Fz; ф\р2\фгрг),фзр2)
Е; ,(Е) ,(Е) Фі ,Фг •
А,; /(Л,) Фі '
На этой схеме мы начертили два уровня, принадлежащих ^-представлению. Из того, что они изображены в виде уровней с разл іч* НЫМИ энергиями, следует, ЧТО функции Ф^1* И ф|Лі) линейно независимы, Если бы эти функции были линейно зависимы, им должна была бы отвечать одна и та же энергия. Аналогично для двух уровней, обозначенных буквой Е, функции ф® и ф® являются партнерами, преобразующимися по представлению Е и соответствующими, таким
§ 2, Теория возмущений
193
образом, одной п той же энергии, Функции ф^1 и ф^ также являются партнерами, но функции ф и ф не связаны между собой никакой линейной зависимостью.
§ 2. Теория возмущений
Невозмущенный гамильтониан Н0 был инвариантен относительно своей группы симметрии О. Предположим теперь, что на систему наложено некоторое возмущение V, Возмущенный гамильтониан
H = H0-\-V
будет иметь группу симметрии, которая должна быть некоторой подгруппой группы О. Если возмущение V обладает симметрией, которая по крайней мере не ниже симметрии гамильтониана Н0, то группа О будет по-прежнему группой симметрии полного гамильтониана Н. В этом случае возмущение не изменит возможных типов уровней. В самом деле, расщепления вырожденных уровней произойти не может. Рассмотрим, например, какой-нибудь уровень є и его собственные функции ф(.^. Поскольку возмущение V инвариантно относительно всех операций группы Q, функция
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed