Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
184
Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Для любой группы О правую часть неравенства (5.133) можно переписать с помощью (5.105а) и (5.87) в виде
>Г cO*)c(v)cW (|ivX.) = — 2 2 (R) x(v) (R) x™ (R) =
JXVA. |XVA. R
= (5-134)
R
Еще раз воспользовавшись соотношением (5.105а), для левой части неравенства (5.133) получим
2(^)2==72 2
ixv?. ixv?. RR'
Суммы по |i, V, X можно вычислить в отдельности с помощью соотношения полноты (5.41), откуда
= <5^5>
nvl R 'К/ Л
где gR—число элементов в классе, содержащем элемент R. Подставляя в неравенство (5.133) выражения (5.135) и (5.134), получаем
2К(Я)]3<2(т^)2: (5-130)
таким образом мы доказали следующее:
Неравенство (5.136) выполняется для любой конечной группы. Знак равенства имеет место в том и только в том случае, если группа просто приводима.
Согласно нашей лемме, в случае 5/?-групп кронекеровское произведение D(^> X DM любого представления на себя содержит лишь целые представления. Это произведение всегда можно разложить на симметричную и антисимметричную части:
Dw X Dw = [D(W X 0м] + {Dw X 0(ц>}. (5.28)
Если Dw — целое представление,то неприводимые представления, содержащиеся в [Dw X называются четными представле-
ниями, а неприводимые представления, содержащиеся в {Dw X D(^}, называются нечетными представлениями. Наоборот, если Dw — полуцелое представление, то представления, содержащиеся в его дцмцетризованном квадрате, назцвдідтся нечетными, а те из них,
§ 8. Просто приводимые группы
185
которые содержатся в антисимметризованном квадрате, называются четными, Теперь докажем следующую теорему.
j Теорема. Представление 5/?-группы не может быть одновременно четным и нечетным.
Для доказательства теоремы воспользуемся равенствами (5.32) и (5.33):
lxW X XW (Я)] = J [(хМ (R) У + Xа0(Я2)]. (5.32)
{xWX XW (Я)} = уКх^ЧЯ))2-*0^/?2)]. (5.33)
Условие того, что два представления не имеют общих неприводимых частей, имеет вид
2х(а>(Я)х(Й(Я) = 0, (5.44)
R
где, кроме того, сумма никогда не может быть меньше нуля. Пользуясь соотношениями (5.32), (5.33), (5.44) и определениями четных и нечетных представлений, мы обнаружим, что наша теорема эквивалентна утверждению:
S f GT (Я) )2 + с* (R2)\ Kx(V) (Я) )2 - (я2)] = 0 (5.137)
R
при всех (І И V, либо
2 2 l(x(,l) (R)T + V (Я2)] Kx(v) (Я) )2 - V» (я2)] = 0. (5.137а)
(xv R
Воспользуемся формулой (5.87), в которой положим S = R2:
C(/?2) = Sc(i*)x('*) (R2), и
и преобразуем вторые члены, стоящие в сомножителях равенства (5.137а). К первым членам, стоящим в скобках, применим соотношение полноты (5.41):
^х^СФх^СЯ)
Тогда левая часть (5,137а) преобразуется к виду
2 " (5.138)
186
Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Но из определения ?($) следует
S[U5)]3=SlU5)]2C(5)= SIC(5)]265j^=2[C(/?2)]2. (5.139)
S S S,R R
Наша предыдущая теорема [соотношение (5.136), в котором стоит знак равенства, поскольку мы рассматриваем 5/?-группу] утверждает, что (5.138) обращается в нуль, а это и требовалось доказать.
Теорема отнюдь не утверждает (и это следует особо подчеркнуть), что всякое целое представление либо четно, либо нечетно. Может случиться, что какое-нибудь конкретное целое представление не содержится в квадрате ни одного представления. Такое представление не является ни четным, ни нечетным.
Задача. Рассмотрите группу Q, состоящую из восьми элементов: 1,
— 1, х, —х, у, —у, г, —г с таблицей умножения
х2=у* = \, г2 = — 1, ху — — ух—г, xz = — гх = у, гу = — у г = х.
Какая связь существует между »той группой О и группой кватернионов? Постройте таблицу характеров группы О. Покажите, что двумерное представление группы О целое, но не содержится в квадрате никакого представления.
§ 9. Зу'-символы
В этом параграфе мы будем пользоваться обозначениями, введенными Вигнером, в основе которых лежат обозначения для трехмерной группы вращений. Неприводимые представления мы будем обозначать символами jl, j2 и т. д., а строки и столбцы матриц — греческими буквами. Мы будем придерживаться соглашения о суммировании по повторяющимся греческим индексам. Во всех же остальных случаях суммирование будет указываться в явном виде. Размерность представления D(^ будем обозначать символом [/J.
В § 7 настоящей главы разложение кронекеровского произведения можно было производить как по представлениям, комплексно сопряженным с неприводимыми представлениями, так и по самим
неприводимым представлениям, с матричными элементами
U
Л*а, *1*2:
[Уз!
Определим
4,1 Ji h
унитарную матрицу U
J з
X, X-
которая разлагает кронекеровское произведение
и D' ! в сумму представлений D
А
называется 3j-символом.
Л
х2
Величина
Л)
*з/
(5.140) представлений D(;,)
(5.141)
§ 9. 31-символы
187
В этих обозначениях можно переписать все равенства § 7 настоящей главы. Вместо (5.1116) и (5,111 в) мы получаем условия унитарности:
Z Ж', Z *T=w л <5л42)
*; X 1
/з
Равенства (5.115) и (5.116) заменяются равенствами
Цх, І ? ^ = »иО^(Л).(3..43)
J1 •/ 2 ./з\ г ;.)/•/ 1 ^2 Уз
а равенство (5,114)—равенством
/і Л J’Arf j,) ,Ds Л(Д) ,Г)Ч-- Л*(Л) , Пч Л /з
