Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. Просто приводимые группы
181
Вторая трудность в общем случае возникает вследствие того, что коэффициент (|ivX.) может быть больше единицы. Это обстоятельство делает определение коэффициентов Клебша — Гордана неоднозначным, поскольку мы можем выбирать произвольные линейные комбинации
2 (5.117)
хк
оставляя представление по-прежнему приведенным к клеточно-диаго-
< і \
нальному виду. Если бы каждое представление D входило в кро-некеровское произведение с кратностью, самое большее равной единице, то коэффициенты Клебша—Гордана были бы менее неопределенными. Из (5.117) мы видим, что в этом случае мы могли бы заменять функции лишь функциями Поскольку мы
рассматриваем унитарные представления, это означало бы, что |cj = 1-Поэтому единственным произволом в коэффициентах Клебша—Гордана был бы фазовый множитель, одинаковый для всех коэффициентов с одинаковыми |i, v, X.
При рассмотрении симметрической группы мы покажем, что кое-какие результаты можно получить, несмотря на эту вторую трудность. Мы будем считать, что в этой главе действуют оба ограничения,
о которых только что говорилось.
Мы скажем, что группа просто приводима (SR-группа), если:
а) каждый элемент группы О эквивалентен обратному,
б) кронекеровское произведение двух неприводимых представлений группы О содержит каждое неприводимое представление не более чем один раз.
Условие «а» означает, что все классы группы О амбивалентны, все характеры вещественны и все неприводимые представления группы О целые или полуцелые (с^) = —|—1 ИЛИ сМ = —1).
Симметрические группы 53 и S4, группа кватернионов, двумерная унитарная унимодулярная группа и трехмерная группа вращений являются S/?-группами.
Условие «б» существенно для физических приложений. Из него следует, что «правильные линейные комбинации» произведений базисных функций определены с точностью до фазового множителя и что решение физической задачи однозначно определяется из соображений симметрии.
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма. Кронекеровское произведение двух целых или двух полуце-лых представлений 5/?-группы содержит лишь целые представления; кронекеровское произведение целого и полуцелого представления содержит лишь полуцелые представления.
182
Г лава 5. Различные операции с представлениями групп
Унитарная матрица 5Ц1 преобразующая представление Dв его комплексно сопряженное
= (5.65)'
удовлетворяет равенству
(5.79)
где с(ц) = +1, если представление Dw целое, и с(ц) = —1, если полуцелое [условие «а»]. Аналогично
5vD(v)5v'=-D,(v), Sv = c(v)5v.
Объединяя эти равенства и пользуясь соотношением (5.66), получаем
(5Ц X Sv)(Dw X Dlv})(5Ц XS/‘ = (D*w X D*w) = (Dw X D(v))\
_____ (5.118)
(5Ц X 5V) = cO*)c(v) (5Ц x 5V) ¦ (5.119)
Таким образом, унитарная матрица S = S,, X Sv, преобразующая
кронекеровское произведение /И = ОмХОм в комплексно сопряженное, симметрична, если оба представления Dw и D(v) целые или полуцелые, и антисимметрична, если одно из представлений целое, а другое полуцелое:
5/И5-1 = М*, S=±S. (5.120)
Обозначим символом U унитарную матрицу коэффициентов Клебша — Гордана. Тогда
U MU~l = МГ, ищМ9и~1’=М9г, (5.121)
где Мг — приведенная форма кронекеровского произведения М. Из условия «б» следует, что Мг имеет вид
Мг =
?L і- — -,
'ТІГ2"1
Ч*----1
-Mr*
Ll-U
(5.122)
где D,. D2, . . ., Ds — неэквивалентные неприводимые представления. Из (5.121) имеем
M = U~lMrU. (5.123)
Объединяя этот результат с (5.120), получаем
SU~lMrUS~l = м\
, її.* (5.124)
и SU~lMrUS~lU~l =мг,
§ 8. Просто приводимые группы
183
или
= SrMr = M’Sr, (5.125)
где
Srz=U SU-1. (5.126)
Воспользуемся соотношениями (5.120), (5.126) и унитарностью
матрицы U, тогда
S^U^SU^U'SO-1 = ±U'SU-l = ±Sr. (5.127)
Разобьем матрицу Sr так же, как матрицу Мг в (5.122), и обозначим подматрицы символом Stj (і, /= 1, ..s). Равенство (5.127) означает
S)lt=±Sl). (5.128)
Из равенства (5.125) получим
StjDj— D*Sij. (5.129)
При і Ф j представления D* и Dj неэквивалентны, в силу чего
из (5.129) и лемм Шура следует, что Stj= 0 при / ф j. Таким
образом, матрица Sr имеет тот же клеточно-диагональный вид (5.122), что и матрица МГ, Из (5.129) при / = _/ имеем
SiiDiSJi (5.130)
из (6.128) получаем
SU=±SU. (5 131)
Таким образом, каждая из подматриц Dt матрицы Мг преобразуется в комплексно сопряженную матрицей Su, которая симметрична, если оба представления целые или оба представления полуцелые, и антисимметрична, если одно представление целое, а другое полуцелое.
Коэффициенты (|ivX.) ряда Клебша —Гордана должны быть больше или равны 0. Для любой группы числа равны либо +1, либо 0. Таким образом,
(|ivX.)2 > cWc<v>cW (|iv>.). (5.132)
Знак равенства в (5.132) выполняется лишь в том случае, когда
либо (|ivA,) = 0, либо (|ivX.)=l и = 1. Суммируя по всем
неприводимым представлениям, получаем
2 (|ivA,)2 > 2 (|J.v>,), (5.133)
где знак равенства имеет место лишь в том случае, если при всех |i, v и Я. либо (nvA,)=0, либо (|ivA,)=l и c<^c<v)cW = 1. Но из нашей леммы слеіует, что именно так и происходит в случае SR-групп. Поэтому знак равенства в (5.133) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы группа была 5/?-груцпой
