Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
(4.7)
C3ei(9 = е‘ (ф-2л/3)— е-2л//Зеіф_
Таблица 6
E C3 C\
A\ z
1 1 1
1 є є2
— 2л//3
E; x ± iy
є
Оно является частным случаем теоремы о том, что сумма корней я-й степени из единицы равна нулю.
146 Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии
Для обозначения двумерных представлений мы всюду будем пользоваться символом Е. Фигурная скобка, стоящая перед двумя последними строками табл. 6, и то, что мы рассматриваем их так, как если бы они были одним двумерным представлением, требует пояснения. Эти два одномерные представления являются комплексно сопряженными. В квантовой механике (при отсутствии магнитных полей) гамильтониан инвариантен относительно обращения времени, и функция, комплексно сопряженная по отношению к некоторой собственной функции, является собственной функцией при той же энергии. Таким образом, несмотря на то что группа (?3 имеет только одномерные представления, симметрия относительно обращения времени означает, что мы имеем дополнительный оператор, оставляющий гамильтониан инвариантным. Этот оператор меняет местами базисные функции указанных доух представлений, вследствие чего два рассматриваемых комплексно сопряженных представления физически соответствуют двукратно вырожденному уровню.
Аналогично можно рассмотреть и циклические группы С?4, $4, Є6 и §6.
Рассмотрим далее абелеву группу G2h. Она содержит 4 элемента и поэтому имеет 4 неприводимых представления. Квадрат любого элемента равен единичному элементу Е, вследствие чего все характеры равны +1. Произведение любых двух отличных от единичного элементов порождает третий элемент, поэтому либо все характеры равны —J—1, либо два характера равны 1 и два равны —1. Характеры представлены в табл. 7. Изоморфные группы G2v и D2 = V имеют одинаковые таблицы характеров.
Таблица 7
6 2fl- Е с2 /
1 1 1 1
¦Аи'> г 1 1 —1 —1
ве 1 —1 —1 1
Вцл -*¦» У 1 —1 1 —1
Задачи. 1. Приведите примеры функций, принадлежащих представлениям Ag и Bg группы бїн- Проведите классификацию сферических функций Р™(0)е"лф по представлениям группы 62h.
2. Для групп 6з и 84 найдите неприводимые представления, которым принадлежат выражения, квадратичные относительно х, у и г.
3. Классифицируйте компоненты аксиального вектора по представлениям группы Ьгн-
§ 2. Неабелевы группы
147
§ 2. Неабелевы группы
Перейдем теперь к неабелевым группам. Рассмотрим сначала группу G3v (и изоморфную ей группу D3). Группа G3v содержит 6 элементов, принадлежащих 3 классам. Поэтому существуют 3 неприводимых представления размерности щ, п2, п3, причем
п\ п1 пз =
Единственное решение этого уравнения имеет вид га, = п2= 1, га3= 2. Таким образом, мы имеем два одномерных представления и одно двумерное представление. Простейший метод нахождения этих представлений состоит в том, чтобы в качестве исходных взять уже найденные ранее представления группы G3, являющейся подгруппой группы G3v- Так как а2=^Е, то собственные значения av равны ± 1. Следовательно, взяв базисную функцию ф представления А группы G3, мы можем получить либо
<УІ> = + Ф.
либо
<у|5 = —\|\
Так мы получаем два одномерных представления группы G3v, характеры которых приведены в табл. 8.
Таблица 8
Giv' Е С8. С3(2) о«(3)
А\, z 1 1 1
а2 1 1 —1
Е\ х, у 2 —1 0
Равенство (3.178) выполнено:
2&Ы2 = і ¦ (i)2+2(i)2+3(±i)2 = 6 = g-, 4g
2 ff/XW = 1 (1 • 1)+2(1 • 1) + 3(1)(-1) = 0. ( -)
Характеры двумерного представления можно найти, пользуясь соотношением (3.178); для двумерного представления i(E) = 2. Применение соотношения (3.178) к первым двум классам дает
(1)(1) + (1)(1) + 2Х(С3) = 0, х(С3) = -1, (4.9)
точно так же применение этого соотношения к первому и третьему классам дает
(1)(1) + (1)(-1)+2х(сд = 0, х(а,) = 0. (4.10)
148 Г лава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии
Уравнение (3.178) удовлетворяется и при i = j:
(1)2+(1)2+ (2)2 =6 = ~ , (l)2 + (l)2+(-l)2=3 = -f ,
& 1 S2
(1)2+ (—I)2 —(— (О)2 = 2 = -j- . (4.11)
Sз
Таким образом, в табл. 8 представлены характеры группы Giv. Числа, стоящие в скобках в верхней строке, задают величины — число элементов в классе Kv
Другой метод, также позволяющий получить матрицы двумерного представления Е, исходит из базисных функций е± l<f комплексно сопряженного представления группы С3. Выберем в качестве плоскости отражения для одной из операций av плоскость ZX (угол ф отсчитывается от оси х). Тогда
ove± і(р = е + і(р,
и матрицы С з и С з диагональны. Матрицы остальных отражений
9
можно получить из произведений а?й и avC3. Следовательно, матрицы двумерного представления Е будут иметь вид:
~ 1 0" " є 0 " ’ є2 0"
Е : 1 ; С3: ; СІ: 0
0 ’ 0 0 є2 є
' 0 1 ¦ 0 є2 ¦ 0 є"
1 0 , • є 0 , (Уі/" : є2 0
Для матриц трех рассматриваемых представлений можно проверить соотношение (3.143). Возьмем представление Ах и элемент ij представления Е. Тогда при всех і и j
2 Dfj (R) DftJ* (R) = 2 DfJ (R) = 1 + є + є2 = 0. (4.12)
R R
Затем мы возьмем А2 и Е и получим тот же результат. Взяв представление Е и положив і = j = 1 и l — tn — 2, получим
