Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Это представление называется сопряженным представлением D:
D (/?)== D_1 (R). (5.35)
Если перейти от матриц представления D(R) к комплексно сопряженным матрицам [т. е. к матрицам, элементы которых комплексно
сопряжены по отношению к элементам матриц D (/?)], мы получим
комплексно сопряженное представление D* (R)\
D*(RS) = D\R)D*(S). (5.36)
Задача. Докажите, что представления D, D и D* либо все приводимые, либо все неприводимые.
Характеры сопряженного представления равны:
Х(Я) = х(Я-1)- (5.37)
или
%i = Xr. (5.38)
где Кг—класс элементов, обратных элементам из класса Kt. Характеры комплексно сопряженного представления D* комплексно сопряжены с характерами представления D. В терминах сопряженного представления соотношения ортогональности (3.146) и (3.148а) для характеров можно записать в виде
2x(w(tf)x(v)(K) = ^v, (5-39)
R
2 gllit)lT = S^> (5-40)
соотношение полноты (3.177) принимает вид
(5-41)
а равенства (3.150а), (3.151а) и (3.155а), которые используются при разложении представления на неприводимые, выглядят следующим образом:
“.“ШЦглхГ- <5'42)
С
Hi g Яві' (5-43)
І И
2(-т-)х/Фі=]?аА- (5-44)
і и
§ 4. Условия существования инвариантов
165
§ 4. Условия существования инвариантов
Если неприводимое представление D(R) унитарно, то скалярное произведение векторов в гильбертовом пространстве представления инвариантно, так как
(Dy, Dx) = (у, D+ Dx) = (у, х). (5.45)
Кроме того, в этом случае скалярное произведение дает нам эрмитов инвариант. Для конечных групп [а также для любой группы, для которой выполняется (3.101)] мы всегда можем сделать представления унитарными.
Если сопряженное представление D и комплексно сопряженное представление D* эквивалентны, т. е. если
D~x (R) ж D*(R), (5.46)
или
D (R) да D*~l (R), (5.46а)
то существует матрица F такая, что
D*(R)=F~lD~l(R) F,
ИЛИ
Df(R) = FD~l(R) F~l, (5.47)
Df (R) FD (R) = F. (5.48)
Тогда скалярное произведение
(У, Fx) (5.49)
инвариантно относительно всех преобразований группы G:
(Dy, FDx) = (у, DfFDx) = (у, Fx). (5.50)
Если в равенстве (5.48) перейти к сопряженным величинам, получим
D+ (R) FfD (R) = Ff, (5.4 8a)
так что скалярное произведение
(у, Ffx) (5.49а)
также инвариантно. Комбинируя друг с другом инварианты (5.49) и (5.49а), находим два эрмитовых инварианта:
у.^х), (У,^х). (5.5„
Оба эти инварианта не равны тождественно нулю, так как из их равенства нулю следовало бы, что F~ 0.
166
Глава 5. Разлитые операции с представлениями групп
Наоборот, если существует неособенная матрица F такая, что скалярное произведение (у, Fx) инвариантно:
(у, Fx) = (Dy, F Dx) = (у, D+FDx),
то
D+FD = F, D"=F~lD-lF
и сопряженное представление D и комплексно сопряженное представление D* эквивалентны. Таким образом, необходимым и достаточным условием существования эрмитова инварианта является эквивалентность представлений D и D*.
Для неприводимого представления не может существовать более одного инварианта вида (5.49). Если, кроме (5.49), инвариантно также и скалярное произведение (у, Нх), то
DfHD = Н, = Н~\
FH~X = (DVD) (D_1tf~1D+~1) = DfFH~xDf~\ (5.52) (.FH~l)Df = Df (FH_1)-
Матрица FH~l коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления D+, откуда по лемме Шура следует, что матрица F кратна Н.
В случае неприводимого представления два инварианта (5.51) не могут быть независимыми, и (с точностью до постоянного множителя) матрица F должна быть эрмитовой.
Мы показали, что если представления D и D* неэквивалентны
(они будут эквивалентными, если D «Df ), то мы не можем построить эрмитов инвариант. Мы покажем, однако, что это можно
+ ~ 1
сцелать, взяв прямую сумму представлений D и D . Пусть неприводимое представление D действует в пространстве х, неприводимое і-і
представление D — в пространстве у. (Ясно, что оба пространства имеют одинаковую размерность п.) Тогда
x' = Dx, y' = D+~ly, (5.53)
и величина yfx оказывается инвариантной относительно всех преобразований группы:
у'+*' = (?>+ ly)f (Dx)=* Dx = yfx, (5.54)
§ 6. Вещественные представления
167
Точно так же инвариантна и величина xfy. Следовательно, мы нашли два эрмитовых инварианта:
(5.55)
Возьмем прямую сумму пространств л: и у и образуем векторы
имеющие 2п компонент. Вектор i|) при преобразовании из группы G переходит в вектор
ф:
(5.56)
Dx
DT
Две эрмитовы матрицы
'0 Е~ ' 0 —IE'
Е 0 fi — IE 0
(5.57)
(5.58)
где Е означает единичную (п X «)-матрицу, даюг нам два эрмитовых инварианта:
Ф+/іФ = (Ф- /хФ) и (5-59)
Этот результат не противоречит доказанной нами ранее теореме, поскольку пространство представления (5.56) приводимо.
Задача. Покажите, что для представления (5.57) сопряженное и комплексно сопряженное представления эквивалентны. Покажите, что переход от векторов і|) к векторам iji' задается либо матрицей /ь либо матрицей /2, указанными в (5.58).
§ 5. Вещественные представления
В этом параграфе мы хотим исследовать условия, при которых неприводимые представления группы G можно привести к вещественному виду, т. е.
DtJ(R) = D*tj{R). (5.60)
Мы будем предполагать, что все представления унитарны (для конечных групп это заведомо выполняется), так что
