Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
D (R)D(R)= 1,
(5.61)
или
D-\R)i
iD(R) = D (R), (5.61a)
т. e. сопряженное и комплексно сопряженное представления совпадают.
168
Г лава 5. Различные операции с представлениями групп
Если представление D вещественно, то
D (Я) = D* (R)
и характер yt(R) веществен. Наоборот, если характер х(^) вещественный, то, поскольку
tr [D* (Я)] = [tr D (Я)]* = [X (Я)]*, (5.62)
характеры представления D* будут совпадать с характерами представления D, и представление D будет эквивалентно своему комплексно сопряженному представлению D*. Если характер %(R) ко.м-плексный, то D и D* неэквивалентны. Это единственный случай, когда имеет место неэквивалентность.
В силу сказанного неприводимые представления группы G можно подразделить на три типа:
1) D вещественно (т. е. представление D можно привести к вещественному виду),
2) D эквивалентно D*, но представление D нельзя привести к вещественному виду,
3) D не эквивалентно D*.
Если характер %(R) веществен, так что мы имеем дело со случаями 1 и 2, то D эквивалентно D* и, следовательно, из (5.61а) мы
получим
D(R)^D~l(R). (5.63)
Взяв след от матриц, найдем
х(Я) = х(/?-1)' (5-64)
Кроме того, из (5.63) вытекает, что существует такая неособенная матрица S, что
SD(R)S-l = D-l(R) = Dr (Я), (5.65)
D (Я) SD (Я) = S. (5.66)
Поскольку предполагается, что представление унитарно, матрица S также унитарна. Таким образом, существует билинейная форма
xSy, (5.67)
которая инвариантна относительно всех преобразований
х' = D (Я) х, (5.68)
так как
D (Я) xSD (Я) у = хб (Я) SD (Я) у = xSy.
Наоборот, если такая билинейная форма существует, то для всех Я
SD(R) = D~l(R)S.
§ 5. Вещественные представления
169
Так как представление D неприводимо, а матрица S не равна тождественно нулю, из леммы Шура следует, что матрица S неособенная. Поэтому равенство (5.65) выполняется, и представление D эквивалентно D*. Мы заключаем отсюда, что в случае 3, когда характер %(R) комплексный, не существует билинейной формы, инвариантной относительно преобразований (5.68).
В случаях 1 и 2 выполняется равенство (5.66). Транспонированное равенство имеет вид
D (R) SD (R) = S<
а равенство, в котором все величины заменены на обратные, записывается в виде
D~\R)S~lD~1(R) = S~1-Перемножив эти равенства, получим
S~1S = D~\R)S-1SD(R),
или
D(R)S~'S = S-1SD(R). (5.69)
Так как представление D(R) неприводимо, матрица S-1S должна быть кратна единичной матрице Е:
S~*S = сЕ, (5.70)
S=cS, (5.70а)
Равенство, транспонированное по отношению к (5.70а), имеет вид
S=cS, (5.706)
откуда
S = cS = c(cS) = c2S,
и
с2 — 1, с = + 1 .
Мы заключаем, что если характер %(R) — вещественный [случаи (1) и (2)], то существует инвариантная билинейная форма, у которой унитарная матрица S симметрична или кососимметрична:
S = S или S = — 5. (5.71)
Так как
detS = detS, det (—S) = (—l)"detS,
где л—размерность представления, мы видим, что знак минус в (5.71) может встречаться лишь в случае представлений четной размерностц.
170
Г лава 5. Различные операции с представлениями групп
Если в (5.71) выбран знак плюс, мы имеем дело со случаем 1:
матрица S унитарна и симметрична. Тогда существует унитарная сим-
метричная матрица В такая, что
Я2 = 5. (5.72)
Так как
В'В =1 и В = В,
имеем
В* = В~\ В = В*~Х- (5.73)
Подставляя (5.72) в (5.65) и используя (5.73), получаем
B2D (R)B~2=D*(R),
BD (R) B~l = B~lD* (R) В = B'D*(R) В’-1 =
= [fiD(/?)fi-1]’- (5.74)
Последнее равенство показывает, что представление D(R) преобразуется к вещественному виду матрицей В. Поскольку матрицы В и D(R) унитарны, матрицы
D'(R)=BD (R)B~l
также унитарны. Поэтому они образуют вещественное ортогональное представление группы G:
D'(R)D'(R) = E. (5.75)
Мы не будем останавливаться на рассмотрении более сложного случая 2. Вместо этого мы приступим к поискам простого критерия, с помощью которого мы могли бы различать три типа представлений. Этот критерий выражается формулами, содержащими суммы, взятые по характерам, поэтому мы будем предполагать, что такие суммы имеют смысл. (Это безусловно так в случае конечных групп.) Матрица
5= 2 D (R) XD(R), (5.76)
о
где X — произвольная матрица, удовлетворяет равенству (5.66) и дает нам инвариантную билинейную форму (5.67). В случае 3, когда инвариантной билинейной формы не существует, матрица S должна быть нулевой матрицей при любом выборе матрицы X:
’EiDa^(R)Dyl>(R) — 0 при всех а, р, у, 6. (5.77)
Положив Р —Y и просуммировав по р, получим
0=220 (Я) D б (R) = 2 Da6 (Я2),
Q Р р р Я
§ 5. Вещественные представления
171
в силу чего в случае 3
2 D (Я2) = 0.
(5.78)
Эги результаты для всех трех случаев можно объединить в одно утверждение:
+ 1 для случая 1,
S=cS, с= —1 для случая 2, (5.79)
О для случая 3.
Из (5.76) и (5.79) следует
2 2 Dm(R) X D & (R) = с 2 2 Dm(R) XyBDy6(R),
о pv
О PV
так что
2 Ара (R) Dv6 (R) = с 2 Dya (Я) Dp6 (R).
(5.80)
В частности, положим a = Y, р = 6 и просуммируем по а и р:
2 2 Dm (Я) DaB (Я) = с 2 2 Dm (R) Dm (R),
O -a& (5-81)
или
2х(Я2) = с2х(Я)х(Я).
о о
В случаях 1 и 2 мы имеем соотношение (5.64):
