Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 54

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 180 >> Следующая

образуют базис неприводимого представления Dw(0). Функции представляют собой систему партнеров, принадлежащих представлению D^(G). Из последнего параграфа мы знаем, что такая система существует лишь в том случае, если представление D{K) содержится в произведении D^XD(v\ т. е. если (|ivA,) 0. С другой стороны,
если (|ivA.) >1, мы можем образовать несколько независимых систем партнеров [На самом деле, найдется (|ivA.) „правильных линей-
ных комбинаций” произведений функций.] Чтобы различать между собой эти различные системы партнеров, мы будем применять обозначение s=l, ..., п%, х^=1, ..., (|ivX,). Функции 'Р'С*'1/.)
будут линейными комбинациями произведений
(|i/( v/|X,x^s). (5.109)
(Условимся о суммировании по повторяющимся латинским буквам, суммирование же по греческим буквам всегда будем указывать в явном виде.) Коэффициенты (|х_/, vl | А,т^) в (5.109) называются коэффициентами Клебша — Гордана. (Другие их названия: коэффициенты Вигнера или коэффициенты векторного сложения. Поскольку эти названия используются для групп частного типа, мы предпочитаем более общее название.)
Общее число функций должно быть равно общему числу
произведений функций фМф^)
2 0*vA.) пк = п nv, (5.110)
к
поэтому коэффициенты Клебша—Гордана (М-У, v/1 Я-x^s) образуют матрицу порядка п^пу. Равенство (5.109) является не чем иным, ка^
§ 7. Коэффициенты Клебша — Гордана
179
описанием связи между двумя различными базисами и
пространства представления кронекеровского произведения. Другой способ описания этой связи состоял бы в выражении произведений в виде линейных комбинаций функций
V7MV|v)= 2 ^т^(Лт?5||1/, vl) lJ' 1.................М. (б. 109а)
kxi " \l— 1......nJ
Это соотношение является обратным по отношению к соотношению (5.109), так что
| pj, v/) (цу. vl1 Xxks) = 6kl,6x^6ss,t (5.111)
2 0*/. v/’ I kx}.s)().xis j ixj, vi) — t>jj't>w. (5.111a)
Kxi
Задача. Пользуясь равенствами (5.109), (5.109a) и линейной независимостью базисных функций, выведите соотношения (5.111) и (5.111а).
Чтобы упростить нашу задачу, предположим, что мы имеем дело исключительно с унитарными представлениями. В этом случае (5.109) означает переход от одной ортонормированной системы к другой Чг(*"га,) с помощью унитарной матрицы (|i/, v/1 так что
Q,xKs \ \ij, vl) = (lij, vl [ ),xhsf, (5.112)
(W. v/ = .fiM„ (5.1116)
Л Ar
2 (t1/. v/'IXxks) QiJ, vl\XxKs)* — bjj'bw. (5.111b)
Kxk
Подействуем теперь на равенство (5.109) оператором 0R, соответствующим элементу R группы G:
О (R)
R s s' s's '
где матрицы (R) должны выбираться по некоторой фиксиро-
ванной схеме; в частности, мы можем (и будем) выбирать их так, чтобы при всех они были одинаковыми, т. е.
D(^)(/?) = D<4(/?).
Воспользуемся равенствами (5.7) и (5.7а)
(R) = vk I It./) D(!-;0 (R),
(5.113)
= °r К^чГі 01./. v/1 4s) = O^fOjpp (ixj, vl I lxKs) = = W <*> v/1 їлЛ (5.113a)
180 Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Поскольку произведения образуют систему линейно незави-
симых функций,
DfJ (R) D<;; (R) (jij, vl I A, v) = (ui, vk I kx}/) D&Tfc> (R). (5.114)
Равенство (5.114) можно переписать в нескольких видах, удобных для приложений. Применяя равенство (5.111), мы можем перенести коэффициенты Клебша—Гор дана в левую часть, в результате чего
(А/т vt\\il, vk) Df- (R) Dlki{R) {\ij, \l\k\s) =
= D^)(R)6n. (5-115)
Равенство (5.115) означает, чго матрицы (R) X D{v) (R) кронекеров-ского произведения можно с помощью трансформирования матрицей (^У, v/1 Я-T^s) коэффициентов Клебша — Гордана представить в клеточно-диагональном виде. Первый множитель в левой части можно также записать в виде (fit, vk f X'x'i’t) . Пользуясь соотношением (5.111 а), мы можем перенести коэффициенты Клебша — Гордана в правую часть (5.114), что приведет к соотношению
DfJ (R) (R) = 2 (|u\ v/г I * v') (R) (* V | мУ, vZ), (5.116)
lxi
задающему обратное преобразование от клеточно-диагонального вида к кронекеровскому произведению.
Умножив на D(R), мы можем перенести матрицу представления из правой части (5.114) в левую. Точно так же в равенстве (5.116) мы могли бы воспользоваться соотношениями ортогональности, чтобы перенести все матрицы в одну часть равенства. Однако мы видим, что такая операция приводит к уравнениям, несимметричным по fi, V, X.
§ 8. Просто приводимые группы
Мы можем получить коэффициенты сложения, обладающие более высокой симметрией, если будем выбирать группы специального вида. Прежде всего предположим, что характеры всех неприводимых представлений группы G вещественны. Отсюда следует, что каждое представление эквивалентно своему комплексно сопряженному и что представлений типа 3 (см. § 5 гл. 5) нет. Все неприводимые представления группы О—целые или полуцелые. Этому условию удовлетворяет весьма широкий класс групп: группа вращений, группа кватернионов, большинство кристаллографических точечных групп и все симметрические группы Sn. Действительно, мы увидим позднее, что все неприводимые представления симметрической группы Sn можно выбрать так, чтобы они были вещественными, в результате чего мы получим лишь целые представления.
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed