Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
^Dn(R)Dl2(R)=\ ¦ 1 -(-є ¦ є2"-(-є2 ¦ є* = 1 -(-є-+ є2 = 0. (4.13)
R
Чтобы найти функции, принадлежащие представлению А2, можно воспользоваться следующим методом, который хотя и приводит к длинному окольному пути, но может быть поучительным. Если разложить /2(ф) в ряд Фурье, то симметрия относительно С3 И С3 требует, чтобы в разложении были только те члены, аргумент которых кратен 3, т. е.
/ (ф) = «о + a3e31f + aee6lf + ...
¦ +я_зе-3'ф + я_6е~6‘(Р+ . .. . (4.14)
§ 2. Неабелевы группы
149
Антисимметрия относительно av требует, чтобы д0=0, я3 =— й3 и т. д. Следовательно, представлению А2 принадлежат такие функции, как sin Зф [в общем случае 2 ап sin(3mp)].
В гл. 2 мы обращали внимание на то, что av меняет направление вращения вокруг оси г. Поэтому ^-компонента аксиального вектора будет принадлежать представлению А2. Типичной функцией такого сорта, если выразить ее через координаты двух точек х, у, z и х', у', г', была бы функция ху' — ух' или Біп(ф--ф/). Заметим, что функция, зависящая от разности двух азимутов, инвариантна относительно вращений вокруг оси г.
Метод, примененный нами для группы G3v, можно также использовать и при рассмотрении групп Giv, G6v.
Задача. Найдите матрицы неприводимых представлений группы 63v. Найдите функции, принадлежащие каждому из этих представлений.
Существует еще один метод, который можно применять для нахождения характеров. Его мы подробно продемонстрируем для группы G3v. Установим прежде всего так же, как мы делали эго раньше, что размерности трех неприводимых представлений равны га, = га2=1, п3= 2. Затем для нахождения соотношений между характерами данного представления воспользуемся соотношением (3.173). Коэффициенты ctjlt сходящие в (3.173), определяют из (3.171). Обозначим классы группы G3v через
К\ : Е; Кч’. С3, С\\ Кз • о»(3).
Применим к соотношение (3.171):
е/Г2= ^з: е/Гг= (^зС1У = 2^ + ^з ^з = 2e2f х ^2>
(4.15)
откуда с221 = 2, с222 = 1 . Аналогично $Ж\ = (аг, + aV' + °»")2 = 3? + 3 (С3+С2) = Ъ^Гj -f- 32, (4.16) так что с331 = 3, с332 = 3. Наконец, сЖ 2е/Г 3 = <Ж Ъ<Ж 2 = (р3 + ?3) (оо + + <V) =
= 2(0„ + <V + <V)=2^3> (4-17)
так что c233 = c323 = 2.
Все остальные си, равны нулю. Подставим теперь эти коэффициенты в (3.173).
i = j = 2:
s2%2= Xi 2 с22 4Хг = п (2п 4- 2Х2); Хг^га либо Х2 = — -f • (4-18)
150 Глава 4. Неприводимые представления Точечных групп симметрии
/ = У = 3:
glxl = %i'2tC33lgl%l, gx^=«(3« + 6x2). (4.19)
і = 2, j= 3:
^?3X2X3 = Xi S с23/?/Х/. (4.20)
6Х2Хз = 6геХз. Хз = 0, либо Х2 = «-
В случае одномерного представления характеры не могут быть равными нулю (матрицы должны быть неособенными). Поэтому при га = 1
Х2= ^ Х|= (-j) (1 И- 2) = 1, Хз=±1
и мы получаем два решения Л, и А2. Если при п — 2 мы возьмем решение Хг—2, то получим, что Хз = 2. Но для неприводимого представления
S lx(fl)|2 = g- = 6,
тогда как это решение давало бы
2|Х(Я)|2=24.
Другое решение Хз=0, Хг = —га/2 = —1 дает
2ІХ («) |2=l(2)2-f 2(-l)2 + 3(0)2 = 6 = g.
Этот метод нахождения характеров требует значительных затрат труда. Им широко пользовался Бете1).
Тетраэдрическая группа Г содержит 12 элементов в 4 классах, так что существует 4 неприводимых представления, для которых
»ї+»1+»І + ^=12-Единственное решение имеет вид П] = п2 = nz = 1, га4 = 3, т. е. три представления одномерны и одно — трехмерно. (Трехмерные представления мы будем обозначать символом F. Иногда для этой цели мы будем использовать и символ Т.) Напомним, что группа Т получается из группы V = D2 за счет присоединения к последней вращений вокруг пространственных диагоналей, которые служат поворотными осями 3-го порядка (см. фиг. 34). Поэтому представления группы Т можно получить, исходя из представлений группы V. При действии какого-нибудь вращения вокруг оси 3-го порядка полностью симметричная функция, образующая базис представления Ах группы V, может умножаться на 1, є или є2. (Напомним, что мы хотим получить одномерные представления, так что базисная функция должна быть собственной функцией для С3.) Таким образом, мы получаем три различных одномерных представления, как показано в табл. 9.
') В е t h е Н., Ann. Phys., З, 133 (1929).
§ 2. Неабелевы группы
151
Таблица 9
Т: Е С2( 3) С3( 4) Cf( 4)
А 1 1 1 1
Е ( 1 1 є є2
1 1 1 є2 є
F; х, у, г 3 —1 0 0
С другой стороны, если взглянуть на те базисные функции, которые мы нашли для других трех представлений группы V, а именно х, у и z, то можно заметить, что при вращениях вокруг пространственных диагоналей они преобразуются друг в друга. Таким образом, эти три одномерные представления группы V объединяются в одно трехмерное представление группы Т. Характеры представления F можно найти из соотношений ортогональности. Так как %(Е) = 3, то ортогональность векторов-столбцов в табл. 9 требует, чтобы
Х(С2) = -1, х(С3) = 0 = х(Сз).
Матрицы представления F записаны с помощью базисных функций х, у, z. Эти матрицы являются всего лишь обычными трехмерными матрицами для различных вращений.
I Задачи. 1. Постройте матрицы представления F группы Т.
2. Найдите функции, принадлежащие представлению Е группы Т.
