Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
(5 14)
где строки и столбцы занумерованы в лексикографическом порядке: 11, 12, 21, 22 Мы предполагали, что все произведения функций линейно независимы, ибо в противном случае мы должны были бы объединить соответствующие члены и получить представление меньшей размерности Итак, мы предполагаем, что Ц- и v-представления имеют различную размерность или же (если jx = v) что функции f и ф независимы друг от друга
Обозначим характеры произведения представлений через
хш х x(v) (R) = х v) (R)
Как видно из частного случая (5 14) или из общего равенства (5 4),
„0х х v)
W ---- А
]
Таким образом, характер элемента в произведении представлений равен произведению характеров этого элемента в представлениях-„сомножителях“
Х- - •' (R) = 2 М? (R) D(Jj (R) = x(tl) (R) • X(v) (R) (5 15)
Задача Покажите, что кронекеровское произведение унитарных пред* ставлений есть унитарное представление.
§ 2. Симметризованные и антисимметризованные произведения 161
§ 2. Симметризованные и антисимметризованные произведения
В предыдущем параграфе предполагалось, что |i=?v. Пргдположим теперь, что |i = v и и q)W— независимые совокупности функций. Рассмотрим сначала для простоты случай, когда nil = nv= 2. Перепишем равенства (5.10)—(5.J3), опуская верхние значки n = v:
°r (ФіФі) = ФхФх [А і (Я)]2 + Ф1Ф2 Аі (Я) Ai (R) +
¦“ЬФгФі Аі (Я) Ai (Я) Н-фгФг [Ai (Я)]2, (5.16) Or (Ф1Ф2) = Ф1Ф1 Ai (Я) А2 (R) + Ф1Ф2А1 (Я) А2 (R) +
+ Ф2Ф1 Аі (Я) DX2 (R) -)-+ Ф2Ф2Д1 (R)D22(R), (5.17)
Or (Ф2Ф1) = Ф1Ф1 Аг (Я) Аі (Я) + Ф1Ф2А2 (Я) Аі (Я) +
+ Ф2Ф1 Аг (Я) Ai (R) -)-Ч- ФгФгАг (Я) Аі (Я), (5.18)
ОR (Ф2Ф2) = ФіФі [Аг (Я)]2 + ФіФгАг (Я) Аг (Я) +
Ч~ ^2Фі^22 (Я) А2 (Я) +
+ 4>2Ф2[Аг(Я)]2. (5.19)
Если сложить и вычесть (5.17) и (5.18), то эти четыре равенства запишутся в виде
АгОРіФі)= ФіФі ІАі (Я)]2 + (ФіФг Ч-ФгФі) Аі (Я) Ai (R) -\-
ФгФг [ Ai (Я)]2, (5.20)
(^хФг Н- ФгФх)= 2гр1ф1?)11 (R) Dl2(R)~\-
(ФіФг + ФгФі) [Ai (Я) D22 (R) Dx2 (R) D2X (/?)] -)-
2ф2ф2021 (R) D22 (R), (5-21)
°д (Ф1Ф2—Ф2Ф1) = (^хФг—ФгФх) [?>п (Я) D22 (Я)—Аг (R) D2X (/?)], (5.22) Or (Ф2Ф2) — Ф1Ф1 [Аг (Я)]2 + (Ф1Ф2 Ф2Ф1) DX2 (R) D22 (R) -)-
+ 4>2Ф2[Аг(Я)]2. (5.23)
Заметим, что (5.22) содержит только антисимметричную комбинацию ФіФг—ФгФь в то время как соотношения (5.20), (5.21) и (5.23) связывают между собой три симметричные комбинации
ФіФі. ФіФг + ФгФі и ФгФг-
162
Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Мы заключаем, что произведение представления (размерности > 1) на себя всегда разлагается в сумму симметричного и антисимметричного произведения представлений. Теперь докажем это в общем ciy-чае. В равенстве (5.8) положим n = v:
0R (^)Ф(«) = 2 (Я) DW (R). (5.24)
Переставим между собой j к I:
°r (ФГф'Я *= 2 ifXl)DW (Я) Df) (R). (5.25)
Складывая и вычитая (5.24) и (5.25), получаем оR ^)ф(« _|_^ yDf) (R) DO*) (R) + Df; (R) Dfj(R)] =
Ik
= ? S WW’+^ 4W) PW (Я) (^) + (Я) (#)]. (5-26)
(ft
°д =
= 2 Ф^> [DW (Я) Df) (Я) - D#> (Я) Dfj (Я)] =
ik
= J S (4,(/4W - P/7 («) *>#> (Я) - Df) (Я) Dg*; (Я)]. (5.27)
Ik
Квадрат представления т. e. произведение Dw X
?>(«_
всегда
(за исключением тривиального случая п^ = 1) разлагается в сумму симметричного произведения представлений [D(W X D(w], задаваемого равенством (5.26), и антисимметричного произведения представлений {D(tl) X ?>(м,)}, задаваемого равенством (5.27):
D(W х Dw _ jD(n) х D(n)] _|_ |D(n) х D(n)j_ (5 2g)
Эти представления в свою очередь могут быть приводимыми. Матрицы симметричного и антисимметричного произведения представлений имеют следующий вид:
[Dw X Dw (Я)Ц и = ^ К (Я) Df> (Я) + Df (Я) Df) (Я)], (5.29)
{Doo х Dw (/?)Ц tj ^ 1 [дДО (R) {R) _ Df {R) D(w {R)l (5 зо.
Размерности этих представлений равны соответственно
¦5-МЯЦ+1) и ^ «ц К — О-
§ 3. Сопряженное представление
163
Для характеров симметричного и антисимметричного произведения представлений введены соответственно обозначения
[XXX m = [Dn (Я)]2 + Dn (Я) D22 (Я) + Д2(Я) D« (Я) 4- Р22(Я)]2= = I [Du (Я) + D22 (Я)]2+ і [ [Du (Я)]2 + D12 (Я) Da (Я) -f + Ai (Я) 012 (Я) + [D22 (Я)]2] = = 1 [Dn (Я) + D22 (Я)]2 + і [Du (Я2) + Аг (Я2)] =
Точно так же в общем случае из равенств (5.26) и (5.27) получаем
Заметим, наконец, что если |i = v и \|/W = <p^), то антисимметричные произведения (5.27) тождественно равны нулю и мы получаем лишь симметричное произведение представлений (5.29).
В этом параграфе мы рассмотрим другие методы получения новых представлений. Предположим, что D(R)—неприводимое представление группы G. Если каждую матрицу представления мы заменим матрицей, обратной транспонированной по отношению к ней, то снова получим некоторое представление, поскольку
[ХМХХМ№1 и {х«*>ХХ(м)(Я)Ь
В нашем частном случае из равенств (5.20) — (5.23) имеем
(5.31)
и
{ХХХ(Я)}=^[(Х(Я))2-Х(Я2)].
(5.31а)
[X X X (R)] = \ 2 IDи (Я) Djj*(Я) +Dtj (Я) Dn(Я)]
И
=HS Du {R) Djj {R)+S D«(/?2)
= ^[(X(/?))2+X(^I
(5.32)
и
(5.33)
§ 3. Сопряженное представление. Комплексно сопряженное представление
D~l (RS) = [D (RS)fl = [D(S) б (Я)]-1 = D~'(R)D~\S). (5.34)
164
Глава 5. Разлитые операции с представлениями групп
