Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
В,г 4 1 —1 1 —1 1 —1
S2 я, А\ * 1 —1 1 —1 —1 1
?2 лг, у 2 2 —1 —1 О 0
Ех\ х, у -V, у Е" 2 —2 —1 1 О 0
Г:
А
Е I
F; х< У, г
О:
А
Л2
Е
Рї. х, у,
Е
?2\ X, у, г
Таблица 21
Е С2 (3) С3 (4) С23 (4)
1 1 1 1
1 1 6 6*
1 1 62 є
3 —1 0 0
Таблица 22
Е С3(В) с\( 3) С2(6) с4(6)
Е С3( 8) sj(3) ^(6) s4(6)
1 1 1 1 1
1 1 1 —1 —1
2 —1 2 0 0
3 0 —1 1 —1
3 0 —1 —1 1
РАЗЛИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ С ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ ГРУПП
§ 1. Произведение представлений (кронекеровское произведение)
В гл. 3 мы рассмотрели сложение представлений группы G, позволяющее получать новые представления. Другим методом получения новых представлений, имеющим основное значение в физических приложениях, является построение произведения представлений (кронекеровского произведения). Этот метод схож с методом, применявшимся в § 19 гл. 3 для получения неприводимых представлений прямого произведения двух групп.
Предположим, что мы нашли все неприводимые представления группы G. Пусть — неприводимое представление в га^-мерном пространстве векторов х (имеющих относительно некоторого базиса
компоненты xlt .... хП ) и пусть D(v) — другое неприводимое пред-
с компонентами
Величины xtyk можно рассматривать как компоненты вектора в (п^ X rav)-MepHOM пространстве произведений. Равенство (5.2) устанавливает соответствие между каждым элементом R группы G и некоторым преобразованием в этом пространстве:
х'і = 2 D(?) (R)xj (1=1.n ),
у-i
(5.1)
(5.1a)
Перемножив эти два соотношения, получим
(5.2)
(5.3)
где
D%*)j(R) = (D,tl) (R) X D(v (R) \ki Jt = Df] (R) ¦ (R). (5.4)
158
Глава 5. Различные операции с представлениями групп
Матрицы образуют некоторое представление группы G:
D%*ft (RS) = Dfj (RS)D'ki (RS)=2 D%\R) (S) 2 (R) D$(S)=
a P
= 2 [?>(/a (R) Щ (/?)] Wj (S) D$ (5)] = 2 ЯВД (R) (S), (5.5)
afl a|3
T. Є.
D{llxv)(RS) = D^xv\R) • D(tlxv)(S). (5.6)
Представление (5.4) называется кронекеровским произведением представлений и D^v\
Равенство (5.6) дает нам также общее правило для выписывания кронекеровских произведений матриц. Если Л,, Л2, ...—матрицы га-го порядка и Blt В2, —матрицы т-го порядка, то кронеке-
ровскими произведениями (Al X В{), (А2Х В2), ... будут матрицы
порядка пт, у которых
{Av X Bv)ik, п — (Av)ij(Bv)ki. (5.4а)
Так же, как и в равенстве (5.6), имеем
(Л, X В,) • (Л2 X В2) = (Л,Л2) X (Я,Я2). (5.6а)
или вообще
(Л, ХЩ'(Л2ХА2) ••• (Л5 X Bs) =
= (^1^2 • • • X (ВХВ2. . . Bs). (5.66)
Приведенное выше определение дано в терминах абстрактных векторных пространств. Мы в большей степени приблизимся к физической постановке задачи, если сформулируем наше определение еще раз, пользуясь волновыми функциями физической системы. В § 7 гл. 3 мы сопоставляли каждому преобразованию R оператор 0R
(Од есть преобразование аргументов волновой функции):
Ойф(х) = 4)(/?_1х). (3.68)
Совокупность преобразований R, оставляющих инвариантным гамильтониан Н, образует группу G такую, что
ОяНО^ = Н (3.73)
для всех элементов R из G. Если ф — собственная функция гамильтониана Н, принадлежащая данному собственному значению X, то Одф есть также собственная функция, отвечающая тому же собственному значению X. Если нет „случайного" вырождения, то совокупность пй собственных функций ......п^, принадлежащих данному
§ 1. Произведение представлений
159
собственному значению образует базис неприводимого представления группы симметрии G гамильтониана:
(5-7)
Точно так же совокупность nv вырожденных собственных функций (p(.v), принадлежащих собственному значению kv, образует базис неприводимого представления D(v>:
(5.7а)
k
Из (5.7) и (5.7а) следует
Or (if W) = 2 (Я) (R) = 2 ^4V)DWW- <5-8)
так что произведения ф^>фМ образуют базис произведения представлений D(tl) X D(v\
Обозначения с двойными индексами весьма сложны. Чтобы привыкнуть к ним, мы приведем в явном виде результаты для простого случая, когда nv= 2. В этом случае
ОД>*> = (Я) + (Я),
одф(^ = і (Я)+(Я),
O^v) = 9(V)D(V) (Я) + q$»D?> (Я), (5-9)
Одф(*) = qjfvJDg) (Я) + q^v)Dg) (Я).
Из (5.9) получаем
Or (ф(**>ф^)) = [ф(ОД« (Я) + (Я)] X
х [<р™0™ (Я) + cp<v>D<v> (Я)] - (Я) D<v> (Я) +
+ ^Vp^DO*) (Я) D<v) (Я) + (Я) Dft> (Я) +
+ ^Ф^)0('{) (Я) Dg> (Я). (5.10)
Коэффициент при ф^ф^ в разложении 0R равен
(Я) (Я), откуда
(Dw X D(v) (Я) )12> „ = DW (Я) DiV (Я)
(D(,l) X 0<v) (Я) )22, u - DiV (Я) ОЙ’ (Я).
160
Глава S Различные операции с представлениями групп
Аналогично находим
°R (Ф?14V)) = 'l’?*Mv)D(n) (Я) (R) + (R) D%\R) +
+ ^(R) D$> (R) + груЩЩМ (R) Dg> (R), (511) 0R = \|>fq>p>D$ (R) Dft> (R) + ^<v)DW (R) D%> (R) +
+ (R) D v) (R) +- Ф5*)ф^)^) (R) Dtf (R), (5 12)
Or (^?2v)) = ^?,v)(R) D$> (R) +
+ 4><|‘)ф(/Ю^ (R) DM (R) + (R) D$ (R) -f
+ (Я) Dg> (Я) (5 13)
Из равенств (5 10)—(5 13) следует, что матрица, соответствующая элементу R группы G, в произведении представлений имеет вид
DWX D(V\R) —
~Dlll\R)D\Y(R) D(!l\R)D[l\R) d№(R)d[V(R)'
D{u(R) t&(R) D$\R!)D№(R) D(&\R)D(2Y(R) D(&} (R) D%\R) DWWDWiR) D$(R)e№(R) D^(R)D[V(R) d?2\R)D{$(R) _Dflt(R)DiV(R) D$\R)D№(R) D(?\R)D(2V(R) dfl (Я) D$ (R)_
