Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 44

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 180 >> Следующая

А2 = Е,
то
?>(А) = Х(А)= ±1.
Если
Л3 = ?,
то
D (Л) = і (Л) = е2лП/3 (/= 1, 2, 3).
Вообще, если порядок Л равен h, Ah — E, то
D (Л) = і (Л) = e2nll,h (1= 1.............А). (4.1)
Если группа циклическая, то она порождается некоторым элементом Л (Л8 = Е), так что
х(Л) = е2^ (/=1.......g), (4.2)
а характеры всех элементов получаются путем возведения в степень числа Например,
х(Лт) = e2nilm's.
§ 1. Абелевы группы
143
Рассмотрим сначала циклические группы.
G\. Это тривиальная группа, состоящая только из единичного
элемента Е (т. е. система несимметрична). Имеется одно неприво-
димое представление:
D(E) = X(E)= 1.
G2. Эта группа порождается одним элементом С2\ С\ — Е. В этом случае
Г) (С2) = х (С,) .= (/=1,2).
Характеры этих двух неприводимых представлений приведены
в табл. 4.
В рассматриваемом случае (одномерное представление) характеры совпадают с матрицами.
Таблица 4
Є2: Е С2
А; г 1 1
В; х, у 1 —1
Мы ввели следующее обозначение для представлений: одномерные представления обозначаются символами А или В в зависимости от того, симметрична или антисимметрична базисная функция относительно вращения вокруг главной оси. Главную ось мы выбрали вдоль оси z. В качестве базисных функций для любой из групп Gn можно взять функции
ф = eU(f (/ = 1..........п). (4.3)
Каждая из этих функций ф задает одномерное представление, поскольку вращение вокруг оси z приводит просто к умножению такой функции на численный множитель. Например, для представления А группы G2 возможными базисными функциями являются
1, z, f(z), f(x2, у2) и т. д.
Для представления В можно взять
ф = е'Ф.
Применим к базисным функциям ф операторы 0R. (На протяжении этой главы для обозначения оператора мы часто будем пользоваться обозначением самого элемента R группы.) Тогда
C2ei(f = е1 (ф-л) = — е‘Ф.
Другая возможность состоит в том, чтобы взять нечетные степени X или у. Характеры представлены в табл. 4, где мы указали представления, которым принадлежат координаты х, у, z; например,
144 Глава 4. Неприводимые представления точечных групп симметрии
z принадлежит симметричному представлению А, в то время как .с и у принадлежат антисимметричному представлению В. Этой информацией мы будем пользоваться позднее при рассмотрении правил отбора. Представления, которым принадлежат х, у, z, будут определять правила отбора для электрических дипольных переходов. Мы покажем, как получать правила отбора для других мультиполей из информации, содержащейся в таблице характеров.
Нам известны две другие группы, «зоморфные группе (?2> а именно Gs и G-r Все эти группы должны иметь одинаковые неприводимые представления. Чтобы информацию об изоморфных группах представить в компактном виде, мы объединяем их характеры так, как это показано в табл. 5. В группах, содержащих инверсию, одномерное представление, которое является симметричным (или антисимметричным) относительно инверсии, имеет индекс g (gerade — четное) или и (ungerade — нечетное), который ставится у символов А и В.
Таблица 5
Є(. Е /
Єі. Е
Gs. Е Oh.
Ag A; z А'; х, у 1 1
Ли, X, у, г В; х, у A": z 1 —1
Аналогично, в группе, содержащей стл, симметрия или антисимметрия относительно отражения указывается одним или двумя штрихами соответственно. В группе Gs координаты х и у симметричны относительно отражения (в плоскости XV) и поэтому принадлежат представлению А'\ в то же время координата z антисимметрична относительно отражения и принадлежит представлению А". В группе Gi координаты х, у и z антисимметричны относительно инверсии и принадлежат Аа.
Заметим, что соотношения ортогональности [равенства (3.147) и (3.178)] выполняются.
Представляют интерес теоремы последней главы о разложении произвольной функции по функциям, принадлежащим различным неприводимым представлениям. Например, функция f(x, у, z), согласно (3.192), будет принадлежать представлению Ag группы Gt, если
Ог/+0,/ = Х/=2/.
/(X, у, z) + f(—x, --у, — z) = 2/(х, у, г), (4-4)
/{х, у, z) = f(—X, —у, —2)1
§ 1. Абелевы группы
145
в то же время g(x, у, z) принадлежит представлению Аи, если
Таким образом, для группы G[ теорема о разложении утверждает, что произвольную функцию можно представить в виде суммы функций, которые либо четны, либо нечетны относительно инверсии.
Аналогичные утверждения применимы и к группам Qs и ??2. Для G2 наш результат можно сформулировать также и следующим образом. Азимут ф пробегает значения о г 0 до 2л. Любую функцию /(ф) можно продолжить периодически вне указанной области. В разложении Фурье
сумму можно разбить на члены с четным и нечетным п соответственно, т. е.
Первый член в (4.7) четен относительно операции С2, второй член нечетен.
Рассмотрим далее группу С?3. Имеется три одномерных представления с базисными функциями ell<$ (/=1, 2, 3) соответственно или же с функциями I, et(?, e~t(f. В этом случае
Характеры представлены в табл. 6. Все соотношения ортогональности сводятся к равенству
1 +є-1-є2 = 0.
0Eg — 0,g = 2g, g(x, у, z) —— g(— x, —y, —z).
(4.5)
/(<P)= 2 ane‘n<f
(4.6)
/(Ф) = 2 «2тЄ2'тф+ 2 a2m + le‘ (2т + »Ф.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed