Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
376
Глава 8 Непрерывные группы
за счет рассмотрения универсальной накрывающей группы. Можно показать, что для любой многосвязной группы О найдется односвязная группа О (универсальная накрывающая группа группы О) такая, что О можно гомоморфно отобразить на О. Группа О содержит дискретную инвариантную подгруппу N такую, что О изоморфна G/N.
Например, если группа О—двумерная группа вращений, то О — группа вещественных чисел х, в которой законом композиции служит обычное сложение. Все числа х сдвигают на величину, кратную 2я, чтобы привести их к интервалу 0 — 2я. Гомоморфизм задается отображением
х—хр = х— 2n|^-^-j, —оо < л; <0^!ф^2я,
где [лг/2гс] — наибольшее целое число, не превосходящее х/2л. Функции еti!f на О однозначны.
Всякое неприводимое представление группы О (однозначное или многозначное) служит однозначным представлением группы О. Чтобы найти все неприводимые представления группы О, исследуем группу О-Для односвязной группы О все представления однозначны, и поэтому соотношения ортогональности и полноты выполняются.
ГЛАВА 9
АКСИАЛЬНАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ
Два вида симметрии — аксиальная и сферическая—принадлежат к числу наиболее важных видов симметрии, встречающихся в физических задачах. Для рассмотрения таких задач мы должны найти представления двумерной и трехмерной вещественной ортогональной группы.
§ 1. Группа вращений в двумерном пространстве
Рассмотрим группу вращений вокруг некоторой фиксированной оси (оси z), т. е. двумерную группу чистых вращений Gm. Припишем каждому преобразованию некоторое значение одного непрерывного параметра ф—угла поворота, измеряемого, например, от оси х:
х' = х cos ф — у sin ф,
. . (9.1)
у = X sin ф—)— у COS ф.
Как было показано в гл. 8, эта группа абелева, элемент объема в этом случае равен dф, а инфинитезимальный оператор записы-
вается в виде
, _____ _д____д______ д
z Х ду У дх дф ’
Так как группа абелева, все ее неприводимые представления одномерны, и поэтому матрицы представлений и характеры совпадают.
Отсюда следует, что для любых двух углов ф; и ф2 характеры
должны удовлетворять соотношению
X (Фі + ф2) = X (Фі) X (Ф2) ¦ (9-2)
Если потребовать, чтобы представление было непрерывным, то решение этого функционального уравнения должно иметь вид
Х<т>(ф)= е1тч. (9.3)
Если же, кроме того, мы хотим, чтобы представление было однозначным, должно иметь место равенство х(2я) = х(0)> откуда вытекает, что т = О, 1, 2 и т. д. [Если мы допускаем 2-, 3-, ..., -знач-
ные представления, то мы могли бы получить также и решения
378
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
X (ф) = е/тф/2, eimlrl3 и т, д. Для двумерной группы вращений все эти представления допустимы. Однако если исходить из некоторой трехмерной физической задачи и о г нее перейти к подгруппе вращений в двумерном пространстве, мы найдем лишь однозначные и двузначные представления.] Эти же результаты получаются и с помощью обычного квантовомеханического метода, использующего инфи-нитезимальный оператор д/ду. Так как представление одномерно, мы должны иметь
йр — х’
откуда и следует (9.3).
Соотношение ортогональности принимает вид
2л
J d<p-/;i(m) (ф) уИ') (ф) = 2л bmm.. (9.4)
о
Обращаясь к теории рядов Фурье, мы видим, что характеры однозначных представлений образуют полную систему; других неэквивалентных неприводимых представлений, которые были бы однозначны, не существует. Базисной функцией для представления D(m) служит функция
ф(т) _ e-lm<tm
Всякую однозначную (периодическую) функцию можно разложить ¦в ряд по этим базисным функциям. Заметим, что характеры представлений D(m* и D(-m) комплексно сопряженные. Поэтому мы должны Объединить их в одно двумерное представление (см. стр. 146).
Если мы рассмотрим какую-нибудь линейную молекулу в том Приближении, в котором ядра составляющих ее атомов считаются расположенными неподвижно на оси молекулы, то электроны будут двигаться в аксиально симметричном поле этих ядер. Электронные состояния такой молекулы классифицируют по неприводимым представлениям группы аксиальной симметрии. Состояния с квантовым числом А = | m | = 0 называются 2-состояниями; состояния с А=1 называются Г1-состояниями; состояния с Л=2—Д-состояниями и т. д. Поле, образуемое ядрами, не только аксиально симметрично, но также и инвариантно относительно отражения (а„) в любой плоскости, проходящей через ось молекулы. Таким образом, группой симметрии, представляющей интерес с физической точки зрения, является группа GmV. Эту группу можно получить из группы G^, присоединив к последней отражение а0 в плоскости хг. (Обратим внимание на то, что эта процедура совпадает с процедурой, использованной нами в гл. 4.) Отражение меняет знак угла ф, так что
OveiA<t = е-*ЛФ, Ove~iA(f = е1КЧ.
(9.5)
§ 1. Группа вращений в двумерном пространстве
379
|(Л) и D('a) объединяются
Таким образом, при Л Ф 0 представления D' в одно двумерное неприводимое представление. Группа G^ уже не будет абелевой. Повороты на углы фи — ф образуют класс. При Л Ф 0 матрицы Л-предсгавления (если воспользоваться базисными функциями е±'лФ) имеют вид
