Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
(и, и) = (Аи, Ац) = (кц, ки) = \к\2(и, и),
382
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
откуда |^|= 1. Итак, для любого вещественного ортогонального преобразования с определителем -)-1 собственными значениями служат числа
Я,(1)=1, k(3)=e~lv (0<ф<я). (9.10)
Соответствующие им собственные векторы обозначим И(1), И<2), И<3>. Первый из них удовлетворяет уравнению
Аи^=и"\
которое означает, что вектор совершенно не изменяется при действии преобразования А и поэтому соответствует направлению оси вращения. Собственные векторы взаимно ортогональны и нормированы:
(«<'), «<'>) = а,у. (9.11)
Так как Ли(1) = и(1), то
Аи™ = ААи<1> = и(1>,
откуда
(А — Л) и(1) = 0.
или
(А 12 — Л21) Иг'*-)- (^4 із — Ап) = 0,
(Л21 — Ац) + (Лгз—^З2)из) = 0, (9.12)
(Л31 — Ліз) + (А32 — Л23) и(2!) = 0.
Решая эти уравнения, получаем
и[1): и2!): иУ = (Л23 — Л32): (Л31 — Ліз): (Л12 — Л21). (9.13)
Задача. Докажите, что у собственного ортогонального преобразования (вещественного или комплексного) в нечетномерном пространстве всегда имеется ось (т. е. некоторая прямая, все точки которой остаются неподвижными).
Равенство (9.13) позволяет по коэффициентам преобразования найти направление оси вращения. Собственный вектор и(1) всегда можно выбрать так, чтобы он был вещественным. Угол ф также можно найти, зная матрицу А, так как сумма собственных значений равна следу матрицы А:
^11 + ^22+^33= \-\-е1*е~1ч = 1 -)—2 cos ф. (9.14)
В силу того, что
Аи'2> =е‘* и<2>. А'а^'= Аиї)*=е-‘ч> И(2Г,
имеем
«(з) = «(2)\ (9.15)
§ 2. Трехмерная группа вращений
383
Если в качестве базисных векторов выбрать (комплексные) векторы и(1\ и(2\ и(3), матрица А станет диагональной матрицей:
1 О О
О е'Ф О
L0 0 е-'Ф
(9.16)
Матрицу, преобразующую матрицу А к диагональному виду Л, можно найти из следующих соображений. Будем исходить из уравнения для собственных значений
2 AtJuf = XV = 2 uW%k). (9.17)
і J
Введем матрицы U и Л:
UJk=:uf. А 1к = Х(к)Ь]к. (9.18)
Тогда Л есть диагональная матрица (9.16), а матрица U есть матрица, столбцами которой служат собственные векторы. Из (9.11) мы видим, что матрица U унитарна. Подставив (9.18) в (9.17), получим
AU = UA,
а умножив это соотношение на матрицу, обратную U (так как матрица U унитарна, обратная матрица существует), найдем
U~lAU = A.
Отсюда следует, что матрица Ujk приводит матрицу А к Диагональному виду Л. Наши новые базисные векторы и(1), и(2), и(3) комплексны. Поскольку нас интересуют преобразования вещественных координат, удобно перейти к вещественным базисным векторам. (Разумеется, это означает, что теперь наша матрица преобразований уже не будет диагональной.) Этот переход можно выполнить с помощью унитарной матрицы V
384
Г лава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Преобразование V запишется в виде
1 О
О
0 0 _
1 і
/2 /2
— і і
W W-
'1 0 0
0 еіщ 0
0 0 e-i<f
-\ 0 0 ~ -
0 1 /2 І 7? —
0 1 — і
/2
‘1 0 0 “
0 COS ф — Э1Пф = R. (9.20)
-0 sin ф COS ф .
В последнем преобразовании мы с легкостью узнаем поворот вокруг первой оси на угол ф. Таким образом, параметр ф, фигурирующий в собственных значениях, является углом поворота. Преобразование UV приводит матрицу А к ее окончательному виду. Из (9.19) имеем
UV
и»)
«<;>
3
(9.21)
Преобразование UV является произведением двух унитарных преобразований и поэтому унитарно. Кроме того, из (9.21) и (9.15) видно, что преобразование UV вещественно, поэтому матрица UV вещественна и ортогональна. Итак, мы показали, что любую вещественную матрицу с параметром (углом) ф можно с помощью некоторого вещественного ортогонального преобразования (т. е. поворотом) преобразовать в любую другую матрицу с тем же параметром ф. Повороты на один и тот же угол вокруг любой оси эквивалентны и принадлежат к одному и тому же классу.
Направление оси вращения и угол ф представляют собой три параметра, с помощью которых можно охарактеризовать поворот. В качестве параметров можно взять компоненты и^ф, и^ф, и^>ф вектора, длина которого равна ф, а направление совпадает с направлением оси вращения. Параметры группы вращений являются, таким образом, точками внутри сферы радиусом я с центром в начале координат. Каждой точке внутри этой сферы соответствует поворот вокруг направления радиуса-вектора, проведенного из центра, на угол, равный расстоянию от этой точки до центра сферы. Направление вращения будем выбирать, пользуясь правилом правой руки. За исключением угла ф = я, эти параметры однозначно определяют вращение. Что же
§ 2. Трехмерная группа вращений
385
касается двух диаметрально противоположных точек, то они задают одно и то же вращение. Поэтому мы должны представлять себе эту сферу так, словно ее прошили насквозь, и точки, принадлежащие противоположным концам диаметра, совпали.
Функцию плотности для интегрирования по группе можно вычислить тем способом, который рассматривался в предыдущей главе. Нашими параметрами служат три декартовых координаты точек внутри сферы радиусом я, или же сферические координаты этих точек. Область изменения параметров конечна, поэтому плотности, определяемые с помощью левых и правых сдвигов, должны совпадать. Параметры тождественного преобразования имеют значения 0, 0, 0. Если мы рассмотрим параметры т], ? в окрестности тождественного преобразования, то матрица поворота, соответствующего этим бесконечно малым значениям параметров, будет иметь вид
