Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
имеет ту же структуру, что и алгебра (8.76).
3. Докажите, что алгебры (8.75) и (8.76) простые.
Группой Ли, имеющей структуру (8.75), является вещественная ортогональная группа 0(3) в трехмерном пространстве. Эта группа оставляет инвариантной квадратичную форму х2^- у2-}- z2. Ее инфинитезимальные операторы имеют вид
і/ д д .г д д і/ д д
1 ==г~ду~ У~дг’ Х2 = х~дГ~ 2 ~д7’ 3 = УЖ
(8.77)
Группа вещественных линейных преобразований, оставляющих инвариантной квадратичную форму л2-)-у2 — z2, имеет структуру (8.76).
360
Глава 8. Непрерывные группы
Ее инфинитезимальные операторы записываются следующим образом:
Эта группа представляет собой двумерную „группу Лоренца”.
Особенно важно подчеркнуть, что мы рассматриваем исключительно вещественные алгебры Ли. Если же мы перейдем к комплексным расширениям, то алгебры, задаваемые соотношениями (8.75) и (8.76), будут иметь одинаковую структуру. Например, если мы заменим оператор Х2 оператором —IX2, а оператор Х3 оператором — IXз, то уравнения (8.76а) превратятся в уравнения (8.75). Аналогично, если в (8.78) заменить z на lz, мы получим инфинитезимальные операторы (8.77). Это подстановка приводит к замене квадратичной формы х2-\-у2—z2 на квадратичную форму jc2—(— у2 —(-z2. Такое введение мнимой переменной в качестве „временной координаты” является общепринятым при рассмотрении групп Лоренца, однако оно может привести к ошибочным заключениям по поводу структуры группы. Параметры вещественной ортогональной группы 0(3) изменяются в ограниченной области, так что групповое многообразие в этом случае компактно, в то время как параметры „группы Лоренца" (8.78) изменяются неограниченно.
В качестве другого примера различия между вещественной алгеброй Ли и ее комплексным расширением рассмотрим прежде всего группу 0(4) вещественных ортогональных преобразований в чегырех-мерном пространстве. Эта группа вещественных линейных преобразований оставляет инвариантной квадратичную форму x2yy2-\-z2-\-t2. Шесть инфинитезимальных операторов можно выбрать в виде
(8.78)
А, = z
ду У дг
_д_. ду '
(8.79)
Вычислив коммутаторы, получим соотношения
Иі> А2] — А3, [А2, А3] — А{, [А3, Ах] — А2,
(8.80) (8.80а) (8.806) (8.80b) (8.80г) (8.8 Од)
[ВІУ В2\ — А3, [В2, 53] — Alt [В3, — А2,
Их, Вх\ = [А2, В2\ = [А3, В3\ = о,
в2\ = в3, И„ в3] = -в2,
[А2, В1] = -В3. [А2, В3]^Ви
Из, В,] = В2, Из, B2] = — Blt
§ 9. Структура алгебр Ли
361
которые описывают структуру соответствующей этой группе алгебры Ли. Если с помощью линейного преобразования перейти к базису, состоящему из операторов
Следовательно, группа 0(4) локально изоморфна прямому произведению двух групп, каждая из которых изоморфна группе 0(3).
Рассмотрим далее группу Лоренца вещественных преобразований, оставляющих инвариантной квадратичную форму х2 -)- у2 -)- z2— t2. В качестве инфинитезимальных операторов можно выбрать операторы
Структура соответствующей алгебры Ли задается соотношениями
[В,. В2]=-А3, [В2, В3\=-Ах, [В3. Вх\ = -А2, (8.84а)
Если теперь мы попытаемся воспользоваться подстановкой (8.81), то окажется, что на этот раз алгебра Ли не распадается в прямую сумму. И действительно, в последней главе при рассмотрении группы Лоренца мы дадим прямое доказательство простоты этой группы.
Задача. Рассмотрите группу Лоренца с двумя .пространственными переменными* и двумя „временными переменными", т. е. группу вещественных преобразований, оставляющих инвариантной форму х2-\-у2—г2—t2. Найдите аналоги соотношений (8.79) и (8.80), (8.80а) — (8.80д). Покажите, что ее алгебра Ли представляет собой прямую сумму двух алгебр Ли, каждая из которых имеет структуру (8.76).
(8.81)
то соотношения коммутации примут вид
[•А, —/». [Л> -41 — Л> 1 f~ /'1 1
[К\, К2\^=К3, \К2, К3] = Кх,
[•/,. К}\ = 0.
(8.82)
(8.82а)
(8.826)
И]. А2\ = А3, [А2, А3] = А1, Из, Ах] = А2, (8.84)
И,, Вх] = [А2, В2] = [А3, В3] = О,
[А\, В2] = В3, [Л1г Z?3] = В2,
[А2, В1\ = ~В3, [А2, в3\ = въ
[А3, Bt] = B2, [А3, 52] = Вх.
(8.846)
(8.84в)
(8.84г)
(8.84д)
362
Глава 8. Непрерывные группы
Если бы нам разрешалось делать комплексные подстановки, то подстановка Bi-^iBi привела бы к тому, что соотношения (8.84), (8.84а) —(8.84д) полностью совпали с соотношениями (8.80), (8.80а) — (8.80д). Для группы Лоренца операторы
Jt = , Kt = Al ~iBi (8.85)
удовлетворяли бы соотношениям (8.82), (8.82a) и (8.826). Ясно, что все три только что рассмотренные вещественные алгебры Ли имели бы одно и то же комплексное расширение, хотя их структуры совершенно различны.
Заметим также, что группа 0(4) компактна (см. пример 12 в § 4 настоящей главы), в то время как параметры группы Лоренца меняются неограниченно.
§ 10. Структура компактных полупростых групп Ли и их алгебр
В этом параграфе мы сформулируем без доказательств теоремы, которые позволят нам найти структуру полупростых групп Ли. Мы уже использовали термин „компактная группа" при описании групп Ли, параметры которых изменяются в ограниченных пределах. Само групповое многообразие (т. е. совокупность всех элементов группы Ли) называется в этом случае компактным. В общем случае множество М компактно, если всякое бесконечное подмножество в М содержит послед>вательность, которая сходится к некоторому элементу множества М. Например, любая область конечной протяженности в евклидовом пространстве компактна (теорема Больцано — Вейер-штрасса). С другой стороны, область евклидова пространства, простирающаяся до бесконечности, не компактна, поскольку бесконечная
