Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Ib
Из (9.33) мы видим, что
Po = Nl0, Plm = 0 при тф 0. (9.34)
При заданном I сферические функции образуют базис (2/^-мерного представления Z)№ группы вращений. Строки матрицы представления занумерованы индексом т, который пробегает значения от —I до В качестве параметров, позволяющих задавать вращения,
будем использовать углы Эйлера и элементы группы вращений будем записывать в виде /?(а, р, у). Так, R (а, 0, 0) будет означать поворот на угол а вокруг оси Z. Вращения этого частного вида не меняют угол 0, а угол ф заменяют углом Ф + а. Поэтому из уравнения (9.29) имеем
Р‘тФ) <тф.
Г\ ьг‘ Г\ Я! ' '
VR (а, 0, он m~UR (а_ 0, 0) Є
у Jjl
^ т
О)
Jm (ф-а)____ -lmavl
/ 2 я В общем случае
Од [а, у)Ут (0| ф)= 2 Ут'Ф, ф)^т'/л(а» Р> Y)> (9.36)
т'
§ 3. Непрерывные однозначные представления группы вращений 393
гле Р, Y) — матрица, отвечающая вращению R (а, р, у)
в представлении D(l\ базис которого образуют сферические функции порядка I. Из (9.35) и (9.36) мы видим, что матрицы представления, отвечающие вращениям вокруг оси Z, диагональны:
D^mia, 0. 0) = e-'m“6m'm.
D(l\a, 0, 0):
,-ці-l);a
olla
(9.37)
Мы хотим доказать, что заданные выше представления неприводимы. Для этого нам необходимо лишь показать, что любая матрица, коммутирующая со всеми матрицами представления, должна быть кратна единичной матрице. Это легко доказать, рассматривая диагональные матрицы (9.37) и матрицу R(0, р, 0) поворота на угол р вокруг оси К. Рассмотрим точки плоскости ZX. Для них азимут ф равен нулю. Поворот R(0, р, 0) переводит точку 0, 0 в точку 0 —(— р, 0. Поэтому, воспользовавшись еще раз формулой (9.29), получим
Р, 0]Рт (0) = я'т (0 - Р) = 2 Р1т' (0) D{% т (0, р. 0). (9.38)
т'
Если положить 0 = 0, то
Р1т (— Р) = S D%m (0. Р. 0) Р1т' (0).
т'
Воспользовавшись соотношениями (9.34), найдем я'«(—р) = 45,(0. Р. о)Nl
(9.39)
(9.40)
Поскольку функция Plm(—Р), вообще говоря, не равна нулю, мы заключаем, что элементы, стоящие в (т = 0)-й строке матрицы D(l\0, р, 0), отличны от нуля.
Если матрица А коммутирует с матрицей D(l\а, 0, 0), определяемой (9.37), то
[Л/Я(а. 0, 0)]mm, = [Dil\a, 0, 0)А]тт„
Л,р — (тга — p — imaA , тт с — * ™тт *
поэтому матрица А должна быть диагональной матрицей, т. е.
Атт' == &т^тгц'•
394
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Если А коммутирует с D(l\0, (}, 0), то
[Л?(г)(0, Р, 0)]ОЙ = [Dw(0. р, 0)Л]ОА при всех k,
или
а0Щ(0. р. 0) = Dtf>(0, р. 0) ak.
Так как
D(0'i (0, р, 0) Ф 0 при всех k,
то
ak = «о-
Это означает, что все диагональные элементы матрицы А равны, и матрица А кратна единичной матрице. Таким образом, всякое представление Z)w (/ = 0, 1, 2, ...) неприводимо. Кроме того, размерности этих представлений различны, в силу чего они не эквивалентны.
Так как характер вращения зависит исключительно от угла поворота и не зависит от направления оси вращения, мы можем найти характеры, пользуясь простой матрицей (9.37). Из (9.37) видно, что
і
у(1) (ф)= ^ eim<P = 12 cos ф-j- ¦ • •
щ™—1
<*•«>
Проверим, что соотношение ортогональности (9.28) выполняется:
-L frf<p(l-cos«p) »М/+У,)ф8»п(Г+ »/,),, = n J TV sin2ф/2
о
я
= я" 1 rf(Psin (^т) <Ps‘n^'-|--j) ф = 6н'. (9.42) о
Покажем теперь, что представления ?>w образуют полную систему, т. е. не может быть никаких других независимых неприводимых представлений, которые были бы непрерывными и однозначными. В противном случае характер нового представления х(ф) был бы ортогонален ко всем х(гЧф): я
| с?ф(1 — соэф)х<г) (ф)х(ф) = 0 ПРИ всех о
или же, если взять разности для последовательных значений I,
Л
J с?ф(1 — cos ф) [х(г 1 *Чф) — %{1> (ф)1х(ф) = 0 ПРИ всех 1-о
§ 4. Расщепление атомных уровней
395
Но
Х(0) (Ф) = 1 и х(/+1) (Ф) — X(f) (ф) = 2 cos Лр,
поэтому при всех значениях I мы получили бы л
J dq> [(1 — cos ф) х (ф)] cos /ф = 0.
о
Итак, коэффициенты Фурье функции (1 —соэф)х(ф) должны были бы обратиться в нуль. Поскольку на отрезке от 0 до я функции cos/ф образуют полную систему, из этого следовало бы, что характер х(ф) равен нулю. Таким образом, мы показали, что представления D(0), D(1) и т. д. образуют полную систему (однозначных) неприводимых представлений. Любое однозначное представление можно записать в виде суммы представлений Z)w. Для дальнейшего заметим также, что
Dw(а, р, y) = ?W(0, 0. y)?W(0, Р, 0)Dw(a. 0. 0).
(а, Р, Y) = e-im''lD{^m (0. Р. 0) е-Ша, (9.43)
и для получения полной матрицы нам остается лишь найти D^’m(0, р, 0).
Отметим также связь сферических функций Ylm с коэффициентами представления:
Or (ф, 0, у)Кm (0> ф) — 2 Ym’ (®i ф) ^m'm (ф> 0> У) —¦ Уm (0. Y)i
m'
где первое равенство есть равенство (9.36), а второе получается с помощью (9.29). Из (9.33) и (9.34) получим
(0, - Y) = ^= VЧг 6°-
Итак,
S Ут' (0, ф) D^m (ф, 0, Y):= YЧг 6°-
тп'
Умножив это равенство на D^m(ф, 0, Y) и просуммировав по т, найдем
Y1ЦЛ У‘к (0> Ч>) = (Ч>. 0. Y). (9.44)
§ 4. Расщепление атомных уровней в полях внутри кристаллов (однозначные представления)
Прежде чем переходить к рассмотрению двузначных представлений группы вращений, мы хотим применить полученные нами результаты к задаче о расщеплении атомных уровней в полях внутри кристаллов. (Позднее эту же задачу мы рассмотрим и для двузначных
