Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 119

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 180 >> Следующая

До сих пор мы выбирали параметры так, чтобы они находились во взаимно однозначном соответствии с вращениями. Однако во многих
§ 2. Трехмерная группа вращений
389
случаях это не обязательно, и более удобны другие параметры. Преобразование (вращение), которое переводит точки трехмерного пространства из некоторого начального в некоторое конечное положение, удобно описывать с помощью углов Эйлера а, р, Y-На фиг. 76 оси координат OX, OY и OZ закреплены неподвижно.
Z
Преобразование можно представить как результат выполнения трех последовательных простых операций:
1. Поворот на угол а вокруг оси OZ (угол а положителен, если точки положительной полуоси ОХ движутся к положительной полуоси OY, и изменяется в пределах от — я до -f- it). В результате этого поворота точки, первоначально расположенные на оси OY, переходят в линию узлов OL.
2. Поворот на угол р вокруг прямой OL, в результате которого точки полуоси OZ будут двигаться к прямой ОМ, как показано на фигуре; угол р изменяется от 0 до я. После выполнения этой операции точки, лежавшие на оси OZ, перейдут в точки OZ'.
3. Поворот на угол Y вокруг прямой OZ'. Условие для выбора знака угла то же, что и в первой операции, и снова —я^у^Я-
Соответствие между этими параметрами и вращениями не является однозначным; например, при р = 0 мы получаем поворот вокруг оси Z на угол a-j~Y-
Обозначим преобразование символом /?(а, (3, v) и покажем, что его можно описывать, задавая повороты вокруг осей OY и OZ. Нашей первой операцией был поворот вокруг оси OZ, который ыы назовем Rv Обозначим второй поворот на угол р вокруг реи OL,
390
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
символом /?р. Этот поворот является некоторой трансформацией поворота /?р на угол р вокруг оси ОК. В самом деле,
Яр = ЯаЯрЯа \
так что
ЯрЯа = ЯаЯр.
Точно так же если R'y — поворот на угол у вокруг оси OZ\ a Ry — поворот на угол y вокруг оси OZ, то
Я^ЯрЯа = ЯаЯрЯу.
Поэтому, кроме приведенного выше, можно дать еще одно описание поворота R(a, р, y):
1. Поворот системы координат вокруг оси OZ на угол Y-
2. Поворот вокруг оси ОК на угол р.
3. Поворот вокруг оси OZ на угол а.
Как обычно, мы сопоставляем преобразованию R(x' = Rx) оператор 0R такой, что
Or/(x) — /(R'1x),
откуда
°r (а, р, у)/ (*) = / [Л (- Y. - Р. - а) х]. (9.29)
Задача. Найдите матрицу преобразования R (а, р, у).
§ 3. Непрерывные однозначные представлення трехмерной группы вращений
По сути дела непрерывные однозначные представления группы вращений хорошо нам известны под другим названием. Рассмотрим уравнение Лапласа
V2i|) = 0. (9.30)
Лапласиан инвариантен относительно вращений, поэтому если ф — решение этого уравнения, то Ойі|з также будет его решением. Рассмотрим такие решения ф, которые являются однородными полиномами степени I относительно х, у, z. Так как вращение R представляет собой линейное преобразование переменных х, у, z, Одф также будет однородным полиномом степени I. Итак, однородные полиномы степени I, удовлетворяющие уравнению Лапласа, при вращениях преобразуются друг через друга и поэтому образуют базис некоторого представления группы вращений. Чтобы найти размерность представления, базис которого образуют однородные полиномы степени /,
§ 3. Непрерывные однозначные представления группы вращений 391
мы должны найти число независимых полиномов. В самом общем случае полином степени I по х, у, z можно записать в виде
Если этот полином должен быть решением уравнения Лапласа V2P = 0, то
и его коэффициенты должны будут удовлетворять рекуррентной формуле
4(я+ 1)(0 + 1) ce+1(6+1 + (Z — а — Ь)(1 — а — Ъ — 1) са6 = 0. (9.32)
Из формулы (9.32) мы видим, что при фиксированной разности между индексами а—b коэффициенты саЬ оказываются связанными друг с другом. Все такие коэффициенты можно выразить через какой-нибудь один коэффициент того же типа. Так как разность а — Ь может принимать все значения от —I до -\-1, существует 2/ —(— 1 линейно независимых решений уравнения Лапласа, имеющих вид однородных полиномов /-й степени. Если перейти к сферическим координатам Г, 0, ф, то полином степени I запишется в виде произведения г1 на функцию от 0 и ф. Этими функциями, зависящими от углов, являются хорошо известные сферические функции, которые мы запишем в виде
Р = 2 свЬ (X + iy)a (X - iy?
(9.31)
о *= 2 cab\±ab (х + iy)a '(x—iy)b V“a-6 +
a, b
+ (l— a —b)(l— a — b— \)(x + iyf (x ~ iy)b z1-*-»-*],
Ylm (0, ф) = -4=- Plm (0) elm(( 0m = —l........+ 0
V 2n
и при 0
где
+ 2 J
— нормирующий множитель, подобранный так, чтобы
(/ — и)! 21 -f-1 ТУ»
(/ + «)! 2 I
•]
Л
(ДОЗа)
о
392
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Ниже приводятся нормированные сферические функции Plm(l= 0.....4):
Яо=1;
яг = уЛ1со8в, Pl = -j/|sine;
Ро = 4 (4 cos2 0 — -jj, р\ = Sin 0 COS 0.
г.2 /15 . од
Pi = — sin'10;
4
Ро = ~\f-J cos3 0 — cos 0j , P\ = ^ COS2 0 — J j sin 0.
p3_/^O5^sin20cos0, P3 = J^-sin30;
Po = l/"-5- cos40—J|-cos20+-|) ,
= 3 ]Q± (7 cos3 0 — 3 cos 0) sin 0,
О
Pi = 3-^(7 cos20 — l)sin20. P\ = 3 cos 0 sin3 0,
Р\ = Ъ lj-sin40.
Предыдущая << 1 .. 113 114 115 116 117 118 < 119 > 120 121 122 123 124 125 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed