Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
последовательность точек plt р2........у которой одна или более из
координат p-t стремится к бесконечности, сходиться не будет.
Можно доказать, что непрерывная функция, заданная на компактном множестве, ограничена. (Этот факт можно использовать в качестве еще одного определения компактности.) После этого можно построить надлежащее определение интегрирования на множестве. Если параметры группы Ли изменяются неограниченно, легко построить пример непрерывных функций от параметров, которые не будут ограниченными.
Алгебра Ли компактной группы Ли также называется компактной. В предыдущем параграфе мы нашій, что при г = 3 компактная группа 0(3) и некомпактная группа Лоренца (8.78) имеют одинаковые комплексные расширения. Далее мы обнаружили, что комплексные расширения вещественных алгебр Ли групп, оставляющих инвариантными формы ;t2+y2+z2-K2, л2-)-у2-)-z2—t2 и jc2—|—у2—z2—t2, совпадают, но компактна лишь первая из групп. Эти примеры явля-
§ 10. Структура компактных йолупросґьіх групп Ли
363
ются частными случаями общего результата: каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет ровно одну компактную вещественную форму.
Каждому элементу А алгебры Ли мы можем сопоставить некоторое линейное преобразование. Для любого элемента S коммутатор [A, S] оказывается вновь элементом алгебры, в результате чего мы определяем оператор рА, который, будучи применен к элементу S, порождает вектор
pAS = [A,S]. (8.86)
Если мы выберем некоторый базис, в котором А = а^Х^, S=stlXtl, то найдем матрицу оператора рА в этом базисе:
{PaSX Ха = С°МХа = (Ыр5Л.
M*=cVv (8-87)
Если теперь мы будем применять оператор рв, соответствующий элементу В, то получим
PbPas^[b< И, S}}
{РвРА\ъ = С1аС^Кач- <8-88)
След преобразования рврА равен
tr (рар Л = с® caJ> а — g Ь а , (8.89)
\Г ВИ А) |И vf|i v
где
g =g = cl3 c“ (8.90)
6 H,v 6 vji ца v|3 ^ '
Равенство (8.89) позволяет нам сопоставить любым двум элементам алгебры некоторую симметричную билинейную форму, которую мы назовем скалярным произведением (А, В) элементов А и В:
(.А, B) = g^av. (8.91)
Если от одного базиса мы перейдем к другому с помощью преобразования (8.70), то, пользуясь соотношениями (8.71а) и (8.90), найдем
*HV = Wap = Vapa pv. (8.92)
так что g^iv преобразуется как симметрический тензор ранга два,
а скалярное произведение (8.91) остается инвариантным. Таким об-
разом, в нашем векторном пространстве g^iv играет роль метрической матрицы. Пользуясь (8.58), можно показать, что величины
с. =g. сР (8.93)
/.(IV 6 >.р (IV ' >
антисимметричны относительно любой перестановки индексов.
364
Глава 8 Непрерывные группы
Задача. Докажите, что величины антисимметричны относительно
любой перестановки индексов.
Поскольку g^v — вещественная симметрическая матрица, ее всегда можно привести к диагональному виду с помощью вещественных преобразований, т. е. путем некоторой замены базиса [(8.70) и (8.92)]. При этом специальном выборе базиса матрица g имеет вид
^v = eAv> (8-93а)
где
?^ = +1 при |а = 1..........k, ец = —1 ПРИ Ц = А+1....................I,
еи = 0 при |Л = / —1..........г.
Если матрица g^v неособенная (detg^O), ее канонический вид (8.93) не содержит нулей, и мы имеем k диагональных элементов, равных -j-1, и г—k диагональных элементов, равных —1. Теорема Картана гласит следующее.
Чтобы алгебра Ли была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы detg=?0.
Это условие можно сформулировать по-другому. Если det^ = 0, го уравнения g^vav = 0 имеют нетривиальное решение. Для такого сектора А и любого Ьц мы получаем g^a^b^ = 0, откуда следует, что (А, В) — 0 при всех В.
Поэтому критерий Картана можно сформулировать следующим образом.
Алгебра Ли полупроста в том и только в том случае, если не существует элемента А этой алгебры, который был бы ортогонален всей алгебре [в смысле скалярного произведения (8.91)].
Если матрица g отрицательно определена, то в ее диагональной форме (8.93) все диагональные элементы будут равны —1. Можно доказать следующее.
Полупростая алгебра Ли компактна в том и только в том случае, если матрица g отрицательно определена [т. е. (А, А) < 0 для каждого элемента А алгебры].
Заметим, наконец, что для компактной полупростой алгебры Ли можно выбрать базис так, чтобы gllv = — В этом базисе в соответствии с (8.93) структурные константы сРу будут антисимметричными относительно любой перестановки индексов.
Фактический анализ структуры компактных полупростых алгебр Ли выходит за рамки этой книги, однако краткий перечень результатов, приведенных здесь, должен помочь читателю проследить за подробным изложением в книгах Понтрягина и Рака.
§ 11. Линейные представления групп Ли
365
§ 11. Линейные представления групп Ли
Линейные представления групп Ли определяются так же, как линейные представления конечных групп (см. гл. 3). Каждому элементу R группы мы ставим в соответствие некоторый линейный оператор D(R). Операторы D (R) действуют на векторы ф в конечномерном евклидовом или гильбертовом пространстве, в котором задано положительно определенное скалярное произведение (vJjj, ф2). Эти операторы должны удовлетворять обычным требованиям: