Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
368
Глава 8. Непрерывные группы
будут занимать в пространстве параметров объем йс, величину которого можно вычислить с помощью соотношения (8.23). Чтобы сделать одинаковой меру элементов группы и ВШ, введем функцию плотности р (а) такую, что
йхш = р (a) da = р (с) dc = dxBm-
(8/105)
Функцию плотности р найти легко, В окрестности единицы можно произвольным образом задать значение р(0). Левым сдвигом с помощью элемента В множество, принадлежащее окрестности единицы, переводится в область пространства параметров, расположенную в окрестности значения параметра Ь. Из (8.23) следует
dbb
2l
і-і
|~ дфа (a; b) да і
(8.106)
]a_o do,. (8.107)
Поэтому элементарные объемы db и da в пространстве параметров оказываются связанными между собой соотношением
db ¦¦
Обозначим
тогла
дф, (а; Ь) дфг (а; ь) I
да і о-0 дах U-о
дф! (а; Ь) дфг (а; Ь)
даГ о=0 даг а= 0
9(b)
Р (0)
'J(b) ' p(b)db = p(0)da.
da = J(b) da. (8.108)
(8.109)
(8.110)
Итак, значения функции плотности p(b) дяя всех b получаются левым сдвигом с помощью элемента В. Наше определение непротиворечиво, ибо если мы от элементарного объема, расположенного в окрестности любого значения параметра а, переходим к другому значению параметра с с помощью преобразования с параметром Ь, т. е.
с = ф(а; Ь),
то эту операцию мы можем проводить в два этапа: сначала выполнить преобразование, обратное преобразованию с параметром а (что вернет нас в начало координат), а затем—преобразование с параметром с, которое и приведет нас в точку с. Так как наше определение выполняется на каждом этапе, то оно же qcгнется непротиворечивым И ДЛЯ всего процесса 8 целом,
§ 12 Инвариантное интегрирование
369
Приведем несколько простых примеров вычисления функции плотности р(а). В группе х' = х-\-а
с = Ф (а; Ь) = а + Ь,
= 1,
а—О
так что функция плотности является константой. При интегрировании функции /(а) по группе мы должны вычислять интеграл
J da / (а).
Рассмотрим далее группу х' = ах:
д(р (а; Ь)
с = ф (а; ?) = ab\
да
— Ь.
а = 1
Функция плотности имеет вид p(b) = \jb. Тот же результат получается и для группы
х' = ах,
1
у =— у.
J a J
В самом деле, из наших рассуждений видно, что функции плотности для изоморфных групп всегда совпадают.
Еще одним примером служит группа х' = ахх -(- а2, для которой с1=ф1(а; b) = blal, с2 = у2(а\ Ь) = Ь2-\-Ьха2,
*Е«-| =ьъ ^1 = ^ = 0, р-\ =ьъ J(b) = b\.
да\ l0,_i да2 да{ да2 |ei-1
а2=0 аа-О
2
Функция плотности имеет вид рф) = \/bi. При интегрировании требуется вычислить
dax da2
л
( dax d
J a\
В случае двумерной группы вращений с = а-\-Ь (параметром служит угол поворота), вследствие чего плотность постоянна. Для интегрирования по группе нужно взять интеграл
Задача Вычислите функцию плотности для двумерной линейной группы.
В нашем определении функции плотности для случая группы х' = ахх -(- а2 имеется одна тонкость. Плотность мы определили так, что если с = ф(а; Ь), то р (с) dc — р (a) da. В основу нашего определения, если рассматривать его с точки зрения групповых операций, были положены левые сдвиги с помощью элемента группы Ь. Найденная нами плотность имела вид 1 ja2v Предположим теперь, что
370
Глава 8 Непрерывные группы
вместо нашего первого определения мы задали функцию плотности, пользуясь правыми сдвигами, т. е. полагая р(с) dc = p(a)da, где на этот раз с = <$(Ь\ а). Проделать это легко. Мы получим p(a)=\/ai. Иначе говоря, если функция плотности определена так, что мера инвариантна относительно левых сдвигов, то эта мера не будет инвариантной относительно правых сдвигов. Таким образом, в общем случае мы найдем для группы лево-инвариантную и право-инва-риантную меру, причем эти две меры не совпадают друг с другом.
Для компактных групп эти две меры совпадают,- и поэтому мы можем задать на группе одну инвариантную меру. Чтобы доказать это, рассмотрим некоторое множество в окрестности единицы. Совершим левый сдвиг с помощью элемента В, в результате чего каждый элемент А множества Ш перейдет в ВА, а множество в целом перейдет в множество ВШ в окрестности элемента В. Произведем, далее, правый сдвиг с помощью элемента В~\ в результате чего элемент В А перейдет в элемент А' = ВАВ~\ а множество ВШ перейдет в множество ВШВ~\ Множество ВШВ~1 вновь расположено в окрестности единицы, и параметры элемента А' получаются из параметров элемента А линейным преобразованием D (В). Таким образом, каждому элементу В группы ставится в соответствие линейное преобразование D(B). Из того, что А' = ВАВ~Х, мы видим, чго матрицы D(B) образуют некоторое представление группы.
Два определения меры будут совпадать, если объемы в пространстве параметров, занимаемые множеством ВШВ~1 и 39І, равны. Так будет только в том случае, когда абсолютное значение определителя матрицы D(B) равно единице. Докажем теперь, что если группа компактна, то этот определитель равен единице. Если элемент В имеет конечный порядок, так что Вт = Е, то
[D (В)]т = D (Вт) = 1
и
| det D (В) |=1.
Если же элемент В является элементом бесконечного порядка, то рассмотрим последовательность элементов Вп(п = 1, 2, . . .). Если группа компактна, то эта последовательность элементов имеет предел р, принадлежащий групповому многообразию. Функция det D(B) непрерывна на компактной группе и поэтому ограниченна, из чего следует, что и detD(p) ограничен. Кроме того, detD((3)=?0, так как матрицы представления неособенные. Если
