Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 118

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 180 >> Следующая

S =
1
?
— Л
-С л
і — І І і
(9.22)
Теперь мы хотим найти параметры поворота, который получится, если после такого инфинитезимального поворота произвести поворот на какой-нибудь угол ф. В таком случае мы найдем якобиан новых параметров по параметрам |, г|, ? и получим функцию плотности. Поскольку все оси вращения эквивалентны, ясно, что функция плотности может зависеть только от угла ф. Поэтому наше вращение можно выбрать в виде простого вращения R, указанного в (9.20). Тогда преобразование RS запишется в виде
1 —? Ц
? cos ф —(— г) sin ф соэф — I, sin ф —?соэф—э!пф _^ІПф—Г|СОЗф sin ф —(— ^ COS ф —?этф-{-СОЗф_
. (9.23)
Так как параметры г|, ? малы, будем всюду удерживать только их первые степени. Для нахождения угла ф' преобразования RS вое* пользуемся формулой (9.14):
1 -{- 2 cos ф' = 1 + 2 cos ф—2|sinq), ф' = ф-{-?. (9.24)
Формула (9.13) позволит нам найти ось вращения:
и\'У = — 2| cos ф — 2 sin ф; и^' = ?зіпф — г| (1 -j-cos ф);
4»' = — г| sin ф —5(1 —|— cos ф).
(9.25)
Вектор ФУ следует нормировать на единицу. Его длина по формуле (9.25) с точностью До членов первого порядка включительно
386
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
равна 2\ cos ф-{- 2 sin ф, поэтому нормированный вектор имеет компоненты
? . Т) (1 -|- cos ф) ті ! ? (1 —1~ cos ф)
г1' 2
1,
Sin ф
Sin ф
Объединяя эти результаты с (9.24), находим параметры произведения RS (с точностью до членов первого порядка):
Якобиан преобразования равен “ 1 О
sin ф
-]•
J =
ф (1 -|- COS ф)
2 sin ф
JL
2
_ 1 2
ф (1 -f- COS ф) 2 БІПф
г
'2(1 — cos ф) ’
откуда функция плотности р(ф) равна
2
Р(ф) = ^г(1 — cos Ф)-
(9.26)
Чтобы проинтегрировать какую-нибудь функцию по группе, мы должны составить интеграл
J ф2 с?ф dQ [-Jj- (1 — cos ф)] / (ф, Q) =
= 2 J с?фс?Й/(ф, Q)(l —cos ф), (9.27)
где Q означает направление оси вращения. Все повороты на один и тот же угол ф принадлежат одному и тому же классу. Поэтому, если мы имеем дело с функцией класса, и в частности с характером представления, наш интеграл можно записать просто в виде
я
8я J с?фх (ф) (1 — cos ф). (9.27а)
о
Полный «объем» группы равен
я
8я J с?ф (1 — cos ф) = 8я2.
о
Соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений группы вращений можно записать следующим образом:
я
J <*ф (1 — cos ф) (ф) x(v) (Ф) = V (9-28)
о
§ 2. Трехмерная группа вращений
387
В гл. 8 мы установили, что группа 0+ (3) простая. Этот результат можно представить себе с помощью следующего наглядного метода. Пространством параметров группы Oh (3) служит внутренность сферы радиуса я. Равные и противоположно направленные векторы, исходящие из центра сферы, соответствуют поворотам на один и тот же угол в противоположных направлениях. Если группа 0+ (3) содержит
собственную инвариантную подгруппу, то эта подгруппа должна содержать какое-то вращение, отличное от тождественного, например вращение, обозначенное цифрой 1 на фиг. 72. Но если инвариантная подгруппа содержит вращение 1, то она должна также содержать и все вращения, получающиеся из 1 с помощью трансформаций, т. е. все векторы, концы которых расположены на пунктирной
сфере. В силу сказанного инвариантная подгруппа содержит вектор 2 (обратный вектору 1), а также некоторую окрестность вектора 2. Если мы образуем произведение вектора 1 и векторов, концы которых лежат в окрестности вектора 2 на пунктирной сфере, мы получим элементы подгруппы, сколь угодно близкие к тождественному преобразованию (центру сферы). Вращения, получаемые из этих элементов с помощью трансформаций, заполняют некоторую малую сферу, центр которой совпадает с центром исходной. Образуя произведения других вращений, мы заполним всю сферу, поэтому инвариантная подгруппа совпадает с О h (3).
388
Глава 9. Аксиальная и сферическая симметрия
Связность группы 0+ (3) также можно найти, исходя из этих наглядных представлений. Чтобы найти связность пространства параметров, мы должны найти число различных типов замкнутых путей, которые нельзя непрерывно деформировать друг в друга. Как показано на фиг. 73, замкнутые пути первого типа можно стянуть в точку.
(Во избежание недоразумений мы изображаем все кривые в виде плоских кривых.) Второй тип замкнутых кривых представлен прямой, расположенной вдоль некоторого диаметра сферы (фиг. 74). Так как точки Р и Р' изображают одну и ту же точку, эта кривая замкнута. Если мы пытаемся непрерывно деформировать эту кривую, то оказывается, что любое смещение одного «конца» к точке Q приводит
О
к сдвигу «другого конца» в точку Q', расположенную диаметрально противоположно точке Q и отождествленную с ней. Все остальные замкнутые кривые совпадают с кривыми этих двух типов (гомотопны им). Например, замкнутую кривую, у которой в двух местах происходит перескок в диаметрально противоположные точки, можно стянуть в точку, как показано на фиг. 75. Точно так же нетрудно видеть, что гомотопны все замкнутые кривые с нечетным числом точек перескока в диаметрально противоположные точки. Гомотопными оказываются и все замкнутые кривые с четным числом точек перескока. Таким образом, групповое многообразие двусвязно, и мы можем иметь (не более чем) двузначные представления.
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed