Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
| det D (В) | > 1,
последовательность
| del D (Вп) | = | det D {В) Iя, (8.111)
§ 13. Неприводимые представления групп Ли и алгебр Ли
371
которая должна стремиться к detD(p), будет на самом деле стремиться к бесконечности. Если же
| det D (fi)| < 1,
то последовательность (8.111) будет стремиться к нулю и не будет сходиться к |detD(p)|. Следовательно, для компактной группы
| det D (В) | = 1.
§ 13. Неприводимые представления групп Ли и алгебр Ли. Оператор Казимира
Если ограничить наше рассмотрение компактными группами Ли, то инвариантное интегрирование, введенное в предыдущем параграфе, позволит нам перенести на случай компактных групп Ли все теоремы, которые были выведены в гл. 3 для конечных групп. Интеграл от непрерывной функции по компактной группе вполне определен, и для доказательства того, что всякое представление компактной группы эквивалентно некоторому унитарному представлению, мы можем повторить доказательство, данное в § 11 гл. 3. Доказательства соотношений ортогональности и теорем о характерах проводятся так же, как и для конечных групп. Наконец, можно доказать, что всякое представление компактной группы разлагается в сумму неприводимых представлелий, каждое из которых имеет конечную размерность, и что реіулярное представление содержит все неприводимые представления.
Для некомпактных групп возникают различного рода трудности. Например, группа трансляций х' = х-\-а обладает представлением
1
О 1
(8.112)
которое, очевидно, является приводимым, но не разлагается в сумму представлений Те же трудности будут возникать и в том случае, когда группа Ли содержит инвариантную абелеву подгруппу. Для полу-простой группы Ли можно доказать, что всякое ее представление конечной размерности вполне приводимо.
В процессе нахождения неприводимых представлений полупростой аліебрьі Ли чрезвычайно полезной оказывается теорема Казимира. Дія таких алгебр метрическая матрица g^v [см. (8.90)] невырождена и иуеет обратную g^v:
^pgpv = V (8.113)
которая, кроме того, симметрична. Если обозначить символами Ху1 операюры, соответствующие базисным элементам аліебрьі, то оператором Казимира, по определению, будет огератор
С — gP°XpXa. (8.114)
372
Глава 8 Непрерывные ірупШ
Если составить коммутатор оператора С с произвольным оператором представления, то получим
[С, Xx]=ge°[XpXa, Xx\ = ge°XplXa, Xx\ + ge°[Xp, Хх]Ха=*
= gpa^XpX% + g* c?xX,Xa = gpo c^XpXk + g*>cbxXKXp =
= ^pa< [XpX, + XKXp].
Из (8 93) имеем
= (8.115)
так что
[С, лд = g»>gtocvax [хрхк + хкхр].
Так как cvaT=—caVT, то множитель перед скобками антисимметричен относительно любой перестановки индексов р и к. Скобки
симметричны по р и 1, так что произведение должно обращаться в нуль:
[С, Хх\ = 0, (8.116)
т. е. оператор С коммутирует со всеми операторами представления.
Если теперь мы рассмотрим какое-нибудь неприводимое представление, то оператор С будет коммутировать со всеми операторами представления и, по лемме Шура, будет кратен единичному оператору. Таким образом, для данного неприводимого представления оператор Казимира С характеризуется некоторым вполне определенным числом, которым можно пользоваться, чтобы задавать это неприводимое представление.
Дяя компактных групп в специально подобранном базисе gpa=—(Р0, и оператор Казимира запишется в виде
С = 2*р- (8.117)
р
Дяя группы вращений 0(3), если в качестве инфинитезимальных операторов выбрать операторы У^, определяемые соотношением (8.101), оператором Казимира будет оператор
С = У?+У| + УІ (8 118)
т. е. квадрат „полного момента количества движения". Он коммутирует с операторами УІР У2, У31 а его значение характеризует неприводимое представление.
В общем случае, чтобы охарактеризовать полностью неприводимое представление, требуется больше операторов. Например, дія группы 0(4) [см. (8.82)] два оператора
F = 0 = 2 < (8.119)
§ 14. Многозначные представления
373
коммутируют со всеми операторами. Через операторы А и Вц эти операторы выражаются следующим образом:
^ = (8-120)
Задачи. 1. Постройте оператор Казимира для группы, заданной уравнениями (8.76).
2. Найдите аналоги операторов F и О в соотношениях (8.120) для группы Лоренца, определенной соотношением (8.83), и для группы, оставляющей инвариантной форму хг-\-уг — гг — t2.
Число операторов, необходимых для задания полной системы, равно рангу алгебры, который определяется следующим образом. Для произвольного элемента А находим все независимые решения уравнения
[А, *1 = 0. (8.121)
Это уравнение всегда имеет по крайней мере одно решение: X — А. После этого мы варьируем элемент А, чтобы свести до минимума число независимых решений уравнения (8.121). Это минимальное число I называется рангом алгебры, и для задания неприводимого представления требуется I операторов типа оператора Казимира.
§ 14. Многозначные представления. Универсальная накрывающая группа
При определении представлений непрерывной группы мы требовали, чтобы матричные элементы представления были непрерывными функциями на групповом многообразии. Среди непрерывных функций, заданных на группе О, могут быть и многозначные функции. При этом возникает возможность появления многозначных представлений. Представление группы О называется от-значным, если каждому элементу группы соответствует m различных операторов Dl(R), ..., Dm(R), причем для того, чтобы представление было непрерывным, необходимо рассматривать все эти операторы одновременно.
